[論文レビュー] Symplectic cohomology and Viterbo's theorem

Mohammed Abouzaid|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 9被引用数 39

ひとこと要約

本稿は、フローア理論、行列式ラインバンドル、グリューリング構成を含む、シンプレクティック位相幾何学の高度な技術を用いて、余接 bundle $T^*Q$ のシンプレクティックコホモロジーと基底多様体 $Q$ のループコホモロジーの間の深い同型を確立する。主な結果は、Viterboの定理の証明であり、$T^*Q$ のシンプレクティックコホモロジーが $Q$ の自由ループ空間のホモロジーに同型であることを示し、$BV$ 演算子、積、単位といった演算の明示的な整合性を示している。

ABSTRACT

This is a research monograph on symplectic cohomology (disguised as an advanced graduate textbook), which provides a construction of this version of Hamiltonian Floer cohomology for cotangent bundles of closed manifolds. The focus is on the aspects of the theory that have been neglected in the literature: (1) the base is not assumed to be orientable or Spin, (2) local systems on the free loop space are used to define twisted versions of Floer cohomology, (3) a (twisted) Batalin-Vilkovisky structure is constructed, and (4) the BV relation is verified. In this setting (i.e. with all the appropriate twists), a proof of Viterbo's theorem relating symplectic cohomology to the homology of the free loop space is provided, and we show that this map respects the BV structure. Viterbo's theorem is proved by constructing three different maps relating the two sides, and proving that two of the compositions are isomorphisms by using degenerations of moduli spaces of genus 0 Riemann surfaces with boundary. Two of the maps constructed are new, and use ideas inspired by a Lagrangian version of family Floer cohomology.

研究の動機と目的

• 余接 bundle $T^*Q$ のシンプレクティックコホモロジーと基底多様体 $Q$ のループコホモロジーの間の標準的同型を確立すること。
• $SH^*(T^*Q) \cong H_*(\Lambda Q)$ である Viterbo の予想の証明。特に、マスロフクラスがゼロの場合に既知の同型が成り立つことを拡張すること。
• 同型が $BV$ 演算子、ループ積、および単位といった、完全な代数的構造を保存することを示すこと。
• 穴あきリーマン面へのフレドホルム作用素のグリューリングに起因する方向付けデータの符号のあいまいさを解消すること。
• ラグランジュ部分多様体の族と擬複素曲線を用いた、フローアコホモロジーとモースホモロジーの間のチェーンレベルのホモトピー同値を構成すること。

提案手法

• 境界がゼロ切断にあるホロモーフィックディスクのモジュライ空間を用いて、$Q$ のモースホモロジーから $T^*Q$ のフローアコホモロジーへのチェーン写像を構成する。
• 穴あき円板およびアニュラス上のフレドホルム作用素のグリューリング理論を用い、線形化された $\overline{\partial}$-作用素の行列式ラインを方向付けデータに関連付ける。
• マスロフ指数と双対性を用いてラグランジュ部分多様体のパスに対する行列式ラインの標準的自明化を定義し、グリューリング同型における符号比較を可能にする。
• $r$ 個の負の穴を持つホロモーフィックディスクと、ラグランジュ部分多様体のループとの間の連結とパラメトライゼーションによる対応を確立する。
• 継続写像とグリューリング写像の合成が、$BV$ 関係と積構造とにおける整合性を確認することで、コホモロジー上にwell-definedな同型を誘導することを証明する。
• 統合最大原理と正則性結果を用いて、境界条件を伴う擬複素曲線のモジュライ空間におけるコンパクト性と横断性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $T^*Q$ のシンプレクティックコホモロジーは、自由ループ空間 $\Lambda Q$ のホモロジーに同型であるか？
• RQ2 ループホモロジーにおける代数的演算（$BV$ 演算子、ループ積、単位）は、シンプレクティックコホモロジーにおけるそれらとどのように対応するか？
• RQ3 穴あき曲面上のフレドホルム作用素のグリューリングに起因する方向付け同型の正しい符号規約は何か？
• RQ4 モースホモロジーとフローアコホモロジーの間のチェーン写像を、期待される同型を誘導するように構成できるか？
• RQ5 生成されたラグランジュ部分多様体のループのマスロフ指数は、方向付けデータおよび同型の符号にどのように影響するか？

主な発見

• シンプレクティックコホモロジー $SH^*(T^*Q)$ は、ループホモロジー $H_*(\Lambda Q)$ に同型であり、この同型は $BV$ 演算子、積、および単位と整合的である。
• グリューリング同型における符号のあいまいさは、マスロフ指数 $\mu$ と次元 $n$ に依存する符号不変量 $\textrm{?`}_r^n(\mu)$ を定義することで解消され、これはラグランジュ部分多様体のループのホモトピー型に応じて $1$ または $-1$ となる。
• フローアコホモロジーとモースホモロジーの同型は、境界がゼロ切断および余接ファイバーにある穴あき円板およびアニュラス上の $\overline{\partial}$-作用素のグリューリングを用いて構成されたチェーン写像によって誘導される。
• シンプレクティックコホモロジーの積構造は、$H_*(\Lambda Q)$ のループ積に対応し、$BV$ 演算子はループ $BV$ 演算子に対応する。これはパンツのモジュライ空間との整合性により検証された。
• シンプレクティックコホモロジーの単位は、同型の下で $Q$ の基本類に対応し、包含写像および継続写像と整合的である。
• 最終的な同型は、ラグランジュ部分多様体のパスのホモトピーの不変性および双対性とマスロフ指数条件による行列式ラインの標準的自明化の使用により、選択に依存しない。