[論文レビュー] On the entanglement-assisted classical capacity of infinite-dimensional quantum channels

A. S. Holevo, M. E. Shirokov|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2012

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 21被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、線形エネルギー制約を伴う無限次元量子チャネルに対して、Bennett-Shor-Smolin-Thaplyal（BSST）定理の一般化を確立し、量子もつれを用いた古典的通信容量が最大量子相互情報量に等しいことを証明する。もつれを用いない容量と一致するための条件を導出し、特定の制約下での連続性を証明するとともに、連続変数系におけるコherent情報量とプライバシーの双対性を一般化する。

ABSTRACT

The coding theorem for the entanglement-assisted communication via infinite-dimensional quantum channel with linear constraint is extended to a natural degree of generality. Relations between the entanglement-assisted classical capacity and the $χ$-capacity of constrained channels are obtained and conditions for their coincidence are given. Sufficient conditions for continuity of the entanglement-assisted classical capacity as a function of a channel are obtained. Some applications of the obtained results to analysis of Gaussian channels are considered. A general (continuous) version of the fundamental relation between the coherent information and the measure of privacy of classical information transmission by infinite-dimensional quantum channel is proved.

研究の動機と目的

• 線形エネルギー制約の下で、無限次元量子チャネルへのもつれを用いた古典的通信容量定理を拡張すること。
• もつれを用いた容量ともつれを用いない容量が一致するための必要十分条件を確立すること。
• 物理的不確かさの下でも、チャネルの関数としてのもつれを用いた容量の連続性を調査すること。
• 無限次元チャネルにおけるコherent情報量とプライバシーの基本的双対性を一般化すること。
• 結果をガウス型チャネルに適用し、特に古典的量子および離散型部分チャネルを分析すること。

提案手法

• チャネルとその補完的写像を等長作用素とトレース演算子を用いて表現するため、Stinespring拡張定理を用いる。
• 制約付きチャネルの$χ$-容量の概念を適用し、入力集合の量子相互情報量の下界として定義する。
• 測度の弱収束と$χ$-容量汎関数の下方連続性を用いて、エントロピー量の収束を証明する。
• チャネルの双対写像をWeyl作用素に作用させることで、パrameter $K$、$l$、$α$ を用いてガウス型チャネルを特徴付ける。
• 連続系における量子的条件付きエントロピーの一般化と、コherent情報量とプライバシーの双対性を用いる。
• Weyl作用素のスペクトル解析と既約性の議論を用いて、ガウス型チャネルが古典的量子または離散型部分チャネルを持つ条件を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制約付き無限次元チャネルのもつれを用いた古典的通信容量が、その$χ$-容量に等しくなる条件は何か？
• RQ2 もつれを用いた容量ともつれを用いない容量が一致するのはいつか？そのときチャネルが持つ構造的性質は何か？
• RQ3 無限次元において、チャネルの関数としてのもつれを用いた容量が連続となるための条件は何か？
• RQ4 コherent情報量とプライバシーの双対性は、無限次元量子チャネルにおいてどのように一般化されるか？
• RQ5 ガウス型チャネルにおいて、古典的量子チャネルおよび離散型部分チャネルはどのように特徴づけられるか？

主な発見

• 制約付き無限次元チャネルのもつれを用いた古典的通信容量は、最大量子相互情報量に等しくなる。これは、制限のない仮定を含まないBSST定理の一般化である。
• もつれを用いた容量ともつれを用いない容量が一致するのは、チャネルが本質的に古典的量子チャネルである場合に限る。また、チャネルが完全に混合化されている場合にのみ、離散型である。
• もつれを用いた容量の連続性を保証する十分条件が導出され、補完的チャネルの収束と入力エネルギー制約の有界性が含まれる。
• Schumacher-Westmoreland恒等式の無限次元一般化が証明され、コherent情報量と古典的通信伝送のプライバシー測度を結ぶ。
• ガウス型チャネルにおいて、$K^T\Delta_A K = 0$ であることは、チャネルが古典的量子であるための必要十分条件である。また、$\text{rank}(K) = \dim Z_A$ ならば、離散型部分チャネルは存在しない。
• 証明は、$\{W_A(Kz_B)\}$ のWeyl作用素族の既約性に依拠しており、$K$ がフルランクのとき、有限次元部分チャネルの存在を排除する。