[論文レビュー] On the equivalence of proportional-integral and proportional-resonant controllers with anti-windup

Christoph M. Hackl|arXiv (Cornell University)|Oct 23, 2016

Numerical methods for differential equations被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、比例積分（PI）および比例共振（PR）コントローラーのアンチワインドアップを、同期回転（d, q）および静止（α, β）参照フレームにおいて、コントローラーのパラメータと初期条件が同一である限り、状態空間的等価性を確立する。時間変動する電気的角速度に対しても等価性が成立し、適切に実装された場合、両コントローラーは同一の閉ループダイナミクスおよび定常状態精度を示すことが証明される。

ABSTRACT

It is shown that proportional-integral (PI) control in the synchronously rotating (d, q)-reference frame and proportional-resonant (PR) control in the stationary (α, \b{eta})-reference frame, both with anti-windup, are equivalent if and only if their implementation is done correctly in state space and the controller parameters and the initial values are identical. It is shown that an equivalence in the frequency domain does only hold if simplifying assumptions are satisfied. As consequence of the equivalence, both closed- loop control performances are identical with respect to closed-loop dynamics and steady-state accuracy. The control performance will only differ if their implementation is not done correctly or the time delay induced by the voltage source inverter becomes significant. To the best knowledge of the author, equivalence of PR and PI controllers with anti-windup has not been shown before (in particular not in state space).

研究の動機と目的

• 時間変動する電気的角速度下でのPIおよびPRコントローラーの等価性に関する曖昧さを解消すること。特に、マシン制御およびグリッド側制御応用において重要である。
• 定常角速度を仮定する周波数領域の仮定に依存せず、状態空間的に等価性を明示的に確立すること。
• 同一のパラメータと初期条件で実装された場合、両コントローラーが同一の閉ループ性能を示すことを示すこと。
• 性能の差異は、コントローラーの種類そのものではなく、誤った実装または顕著なインバーター時間遅延に起因することを明確にすること。
• 周波数変動が一般的なアプリケーション（例：PMSMドライブ、弱いグリッド接続インバーター）におけるコントローラー選定の厳密な基盤を提供すること。

提案手法

• パーク変換および時間微分則を用いて、(d, q)参照フレームにおけるアンチワインドアップ付きPIコントローラーの状態空間表現を導出する。
• 時間変動する角速度を組み込んだ(α, β)参照フレームにおけるアンチワインドアップ付きPRコントローラーの状態空間表現を導出する。
• 逆パーク変換を適用して(α, β)フレームと(d, q)フレームのダイナミクスを関連付け、フレーム間比較を可能にする。
• 回転行列Tp(φk)、反対称行列J、およびそれらの可換性に関する行列恒等式を用いて、時間微分表現を簡略化する。
• 同一のパラメータおよび初期値条件下での両コントローラーの結果得られた微分方程式を比較する。
• コントローラーのパラメータと初期状態が一致する場合、閉ループダイナミクスおよび制御入力方程式が数学的に同一であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アンチワインドアップ付きの(d, q)フレームにおけるPIコントローラーと(α, β)フレームにおけるPRコントローラーが等価となる条件は何か？
• RQ2 電気的角速度が時間変動する場合、等価性は維持されるか？
• RQ3 初期条件およびコントローラーのパラメータ一致が等価性を達成するために果たす役割は何か？
• RQ4 角速度が変動する場合、周波数領域解析が完全な等価性を捉えられない理由は何か？
• RQ5 簡略化仮定なしに、状態空間で等価性を厳密に証明できるか？

主な発見

• アンチワインドアップ付きのPIおよびPRコントローラーは、(d, q)および(α, β)参照フレームにおいて、かつてそのコントローラーのパラメータと初期値が同一である場合に限り等価である。
• 等価性は状態空間で証明されており、時間変動する電気的角速度に対しても有効である。これは、古典的な周波数領域の等価性証明が無効となることを示している。
• 適切に実装され、パラメータと初期状態が一致する場合、両コントローラーの閉ループダイナミクスおよび定常状態精度は同一である。
• 性能の差異は、誤った実装または顕著な電圧源インバーターの時間遅延に起因するだけであり、コントローラーの種類そのものとは無関係である。
• パラメータと初期値が一致する場合、(α, β)フレームにおけるPRコントローラーの状態方程式と(d, q)フレームにおけるPIコントローラーの状態方程式は数学的に同一である。
• 本稿は、アンチワインドアップ付きのPIおよびPRコントローラーの間の等価性を、文脈に即した状態空間的証明として初めて厳密に提示し、先行研究における曖昧さを解消した。