[論文レビュー] On the equivalence of the Bott index and the Chern number on a torus, and the quantization of the Hall conductivity with a real space Kubo formula

Daniele Toniolo|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2017

Quantum and electron transport phenomena被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、2次元トーラス上のギャップあり、短距離相互作用、有界ハミルトニアンに対して、熱力学的極限におけるボット指数とゼルン数の等価性を確立する。実空間におけるクーブォー公式を正確な演算子的恒等式として用いることで、補正項が $L^{-1}$ スケールで増大するように、横方向電導度の量子化を証明し、ハスティングスとローリングによって導入された、トポロジカル絶縁体におけるボット指数の物理的基盤を強化する。

ABSTRACT

The equivalence of the Bott index and the Chern number is established in the thermodynamic limit for a gapped, short ranged and bounded Hamiltonian on a two dimensional torus of linear size $ L $. A Kubo formula as an exact operatorial identity is provided in real space and used to show the quantization of the transverse conductance within corrections of order $L^{-1}$. In doing so the physical foundations of the theory that introduces the Bott index in the realm of condensed matter as proposed by Hastings and Loring in J. Math. Phys. (51), 015214, (2010) and Annals of Physics 326 (2011) 1699-1759 are recalled.

研究の動機と目的

• ギャップあり、短距離相互作用、2次元トーラス上の有界ハミルトニアンに対して、熱力学的極限におけるボット指数とゼルン数の等価性を確立すること。
• 有限系における横方向電導度に対して、正確な演算子的恒等式としての実空間クーブォー公式を提供すること。
• 有限サイズ補正項が $L^{-1}$ スケールで増大する場合のホール電導度の量子化を示し、ボット指数がトポロジカル絶縁体における物理的意味を持つことを検証すること。
• ハスティングスとローリングによって当初提唱された、ボット指数の凝縮物質物理学における物理的基盤を再表現・強化すること。

提案手法

• 有限系における横方向電導度に対して、実空間クーブォー公式を正確な演算子的恒等式として導出すること。
• 周期的境界条件を満たす2次元トーラス上の系の熱力学的極限（$L \to \infty$）を分析すること。
• ギャップあり、短距離相互作用、有界ハミルトニアンの性質を用いて、トポロジカル的安定性を保証すること。
• ボット指数が熱力学的極限においてゼルン数に収束することを示すこと。
• 実空間クーブォー公式を適用し、ホール電導度が $L^{-1}$ スケールの補正項を伴って量子化されることを示すこと。
• ボット指数と測定可能な輸送特性を結びつけるために、厳密な多体量子力学的形式主義に依拠すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ギャップあり、短距離相互作用、2次元トーラス上の有界ハミルトニアンに対して、ボット指数は熱力学的極限においてゼルン数と等価か？
• RQ2 このような系において、横方向電導度に対して正確な演算子的恒等式としての実空間クーブォー公式を構築できるか？
• RQ3 有限サイズ補正を考慮した場合、ホール電導度は依然として量子化されているか？ その補正項のスケールは？
• RQ4 凝縮物質系の文脈において、ボット指数はどのように物理的に意味のあるトポロジカル不変量として現れるか？
• RQ5 数値的・解析的アプローチにおいて、トポロジカル絶縁体の研究においてゼルン数の代わりにボット指数を使用する物理的根拠は何か？

主な発見

• ギャップあり、短距離相互作用、2次元トーラス上の有界ハミルトニアンに対して、ボット指数は熱力学的極限においてゼルン数に収束する。
• 実空間クーブォー公式が正確な演算子的恒等式として導出され、運動量空間の手法に依存せずに横方向電導度を計算可能となる。
• ホール電導度が $L^{-1}$ スケールの補正項を伴って量子化されていることが示され、有限サイズ効果と整合的である。
• ボット指数の凝縮物質物理学における物理的基盤が、ゼルン数との等価性および量子化輸送における役割を通じて再確認された。
• 導出結果は、開いた境界条件や複雑な不純物を有する系において、ボット指数が数値的に安定で物理的に意味のあるゼルン数の代替として用いられることを支持する。