[論文レビュー] On the exceptional zeros of $p$-non-ordinary $p$-adic $L$-functions and a conjecture of Perrin-Riou

Denis Benois, Kâzım Büyükboduk|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 23被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、正則でない $p$-進 $L$-関数の二変数 $p$-進 Beilinson 公式を確立し、中心的臨界点における $p$-進 $L$-関数の二階微分が拡張された三角的セレマー群上の $p$-進レギュレーターと関連することを示す。Perrin-Riou の予想の精密化版を証明し、解析的ランクが 1 の場合の例外的零点の公式を、$p$-進高さ対と Coleman ファミリーを用いて得る。

ABSTRACT

Our goal in this article is to prove a form of $p$-adic Birch and Swinnerton-Dyer formula for the second derivative of the $p$-adic $L$-function associated to a newform $f$ which is non-crystalline semistable at $p$ at its central critical point, by expressing this quantity in terms of a $p$-adic (cyclotomic) regulator defined on an extended trianguline Selmer group. We also prove a two-variable version of this result for height pairings we construct by considering infinitesimal deformations afforded by a Coleman family passing through $f$. This, among other things, leads us to a proof of an appropriate version of Perrin-Riou's conjecture in this set-up.

研究の動機と目的

• 非正則で、$p$-半安定な偶数の重みを持つ新形式に対応する $p$-進 $L$-関数の二階微分に関する $p$-進 Birch and Swinnerton-Dyer 公式を証明すること。
• Coleman ファミリーにおける無限小変形を用いて、二変数 $p$-進高さ対を構成し、重み 2 から高重量へ結果を拡張すること。
• 非正則設定における例外的零点に関する Perrin-Riou の予想の精密化版を証明すること。
• $p$-進 $L$-関数の零点の位数が、Heegner サイクルの $p$-進 Abel–Jacobi 画像と Beilinson–Kato クラスの非消失性とどのように関係するかを関連させること。
• 既存の重み 2 および正則ケースの結果を一般化し、非正則ケースへの Beilinson–Kato 公式を拡張すること。

提案手法

• $(\varphi,\Gamma)$-モジュール理論と Iwasawa コhomology を用いて、拡張された三角的セレマー群上に $p$-進高さ対を構成する。
• 新形式 $f$ を通る Coleman ファミリー $\mathbf{f}$ を用いて、二変数 $p$-進 $L$-関数を定義し、その微分を研究する。
• 二変数 Perrin-Riou 対数を適用し、$p$-進 $L$-関数の二階微分を $p$-進レギュレーターと局所コホモロジー類に関連付ける。
• Bloch–Kato セレマー複体と双対性を用いて $p$-進高さ対を定義し、その非退化性を分析する。
• 一般化された Gross–Zagier–Zhang 公式を用いて、Beilinson–Kato クラスと Heegner サイクルの $p$-進 Abel–Jacobi 画像との間の関係を確立する。
• Amice–Vélu–Manin–Višik 型の $p$-進 $L$-関数理論を用い、$\mathfrak{L}_p$-関数を介して Beilinson–Kato 要素と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非正則で、$p$-半安定な新形式の $p$-進 $L$-関数の中心的臨界点における二階微分の正確な公式は何か？
• RQ2 $p$-進 $L$-関数の零点の位数は、Heegner サイクルの $p$-進 Abel–Jacobi 画像の非消失性とどのように関係するか？
• RQ3 Coleman ファミリーを用いて、非正則状況における例外的零点を研究するための二変数 $p$-進高さ対を構成できるか？
• RQ4 $p$-進高さ対の非退化性が、$p$-進 $L$-関数の零点の位数にどの程度影響を与えるか？
• RQ5 Beilinson–Kato クラスは非正則設定における例外的零点現象を検出できるか？また、$p$-進 $L$-関数とはどのように関係するか？

主な発見

• $p$-進 $L$-関数 $L_{p,\alpha}(f,\omega^{k/2},s)$ の $s=k/2$ における二階微分は、拡張された三角的セレマー群上の $p$-進レギュレーターと、$\mathscr{A}_N(k,0)$ や $\Gamma(k/2)$ などの算術的不変量の積として表される。
• $r_{\textup{an}}(f) = 1$ のとき、$p$-進 $L$-関数が $s=k/2$ で零点をもつ位数はちょうど 2 である。これは、Heegner サイクルの $p$-進 Abel–Jacobi 画像が非消失する場合に成立する。
• $\textup{res}_p([z_f^{\textup{BK}}])$ の非消失性は、$p$-進高さ対が非退化であるという仮定のもとで、$p$-進 $L$-関数の二階零点と同値である。
• 本稿は、Perrin-Riou の予想の高重量・$p$-半安定版を確認し、複素 $L$-関数が一階零点をもつ場合に、$p$-進 $L$-関数が二階の例外的零点をもつことを示した。
• 式 (7.9) に、$p$-進 Abel–Jacobi 画像の二乗と $\mathfrak{L}_p$-関数の二階微分との関係を明示した公式が与えられており、$a(k)$、$\mathscr{A}_N(k,0)$、$\Gamma(k/2)$ が含まれる。
• Tate–Shafarevich 群の有限性と $\mathcal{L}$-不変量の非消失性を仮定すると、本結果は Venerucci の重み 2 の結果を回復・拡張する。