[論文レビュー] Rankin-Selberg Euler systems and p-adic interpolation

Guido Kings, David Loeffler+1 more|arXiv (Cornell University)|May 13, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 22被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、重さ ≥2 のモジュラー形式のRankin--Selberg L関数からモチーフ的コホモロジー類を構成し、それらの p-進解析的変動を示し、p-進レギュレータ像と特別な L 値の関係を確立する。本稿はPerrin-Riouの予想の新しい場合を証明し、楕円曲線の二面体的 twist に対するTate--Shafarevich群の有限性を確立し、虚二次体上のモジュラー形式に対するIwasawa主予想の1つの包含関係を検証する。

ABSTRACT

We construct motivic cohomology classes attached to Rankin--Selberg convolutions of modular forms of weights $\ge 2$, show that these vary analytically in p-adic families, and relate their image under the p-adic regulator map to values of L-functions. As consequences, we prove new cases of Perrin-Riou's conjecture on motivic L-values; we prove finiteness results for Tate--Shafarevich groups for twists of elliptic curves by dihedral Artin characters; and we prove one inclusion in the Iwasawa main conjecture for a single modular form over an imaginary quadratic field.

研究の動機と目的

• 重さ ≥2 のモジュラー形式のRankin--Selberg L関数からモチーフ的コホモロジー類を構成すること。
• これらの類が p-進ファミリーにおいて解析的に変動することを確立すること。
• これらの類の p-進レギュレータを L 関数の特別な値に関連付けること。
• モチーフ的 L 値に関するPerrin-Riouの予想の新しい場合を証明すること。
• 二面体的アーティン指標による twist された楕円曲線のTate--Shafarevich群の有限性に関する結果を確立すること。

提案手法

• 重さ ≥2 のモジュラー形式のRankin--Selberg畳み込みによりモチーフ的コホモロジー類を構成する。
• p-進補間技術を用いて、これらの類が p-進ファミリーにおいて解析的に変動することを示す。
• p-進レギュレータ写像を適用して、これらの類と L 関数の特別な値との関係を確立する。
• オイラー系の手法を用いて、コホモロジー類の p-進ファミリーから算術的帰結を導出する。
• p-進 L 関数および Iwasawa 理論の理論を適用して、Tate--Shafarevich群の有限性を導出する。
• ガロア表現の構造とオイラー系の議論を用いて、Iwasawa主予想における1つの包含関係を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モチーフ的コホモロジー類が、Rankin--Selberg L 関数に付随して p-進ファミリーにおいてどのように変動するか？
• RQ2 これらの類の p-進レギュレータと L 関数の特別な値との正確な関係は何か？
• RQ3 構成されたオイラー系を用いて、モチーフ的 L 値に関するPerrin-Riouの予想の新しい場合を証明できるか？
• RQ4 これらの構成は、二面体的指標による twist を受けた楕円曲線のTate--Shafarevich群の有限性に関する結果をもたらすか？
• RQ5 オイラー系の構成は、虚二次体上のモジュラー形式に対するIwasawa主予想の1つの包含関係を示唆するか？

主な発見

• 本稿は、オイラー系の p-進レギュレータ像と特別な L 値との関係を用いて、モチーフ的 L 値に関するPerrin-Riouの予想の新しい場合を証明した。
• 構成されたオイラー系を用いて、二面体的アーティン指標による楕円曲線の twist に対するTate--Shafarevich群の有限性を確立した。
• 虚二次体上の1つのモジュラー形式に対して、オイラー系の手法を用いてIwasawa主予想の1つの包含関係を証明した。
• モチーフ的コホモロジー類が p-進ファミリーにおいて解析的に変動することを示し、p-進補間性質を確認した。
• 構成された類の p-進レギュレータが L 関数の臨界値に関連することを示し、オイラー系に算術的意味を与えた。
• p-進 L 関数およびオイラー系の枠組みを、高重量のモジュラー形式および非通常的状況へと拡張した。