[論文レビュー] On the Fill-in of Nonnegative Scalar Curvature Metrics

Yuguang Shi, Wenlong Wang+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2019

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、バートニクデータ$(\Sigma^{n-1}, \gamma, H)$に対する非負スカラー曲率（NNSC）をもつ埋め込み計量の存在を調査し、$\gamma$ が $\mathbf{S}^{n-1}$ 上の標準計量と同相である場合、大きな平均曲率 $H$ あるいは大きな全平均曲率 $\int H\,d\mu_\gamma$ が NNSC 埋め込みの存在を排除することを証明する。また、次元 $3 \leq n \leq 7$ において、$\theta$-不変量と接着技術を用いて正スカラー曲率（PSC）埋め込みの十分条件を確立する。これらの結果は、スカラー曲率幾何における平均曲率の上限に関するグロモフの予想を部分的に確認する。

ABSTRACT

In the first part of this paper, we consider the problem of fill-in of nonnegative scalar curvature (NNSC) metrics for a triple of Bartnik data $(Σ,γ,H)$. We prove that given a metric $γ$ on $\mathbf{S}^{n-1}$ ($3\leq n\leq 7$), $(\mathbf{S}^{n-1},γ,H)$ admits no fill-in of NNSC metrics provided the prescribed mean curvature $H$ is large enough (Theorem ef{Thm: no fillin nonnegative scalar 2}). Moreover, we prove that if $γ$ is a positive scalar curvature (PSC) metric isotopic to the standard metric on $\mathbf{S}^{n-1}$, then the much weaker condition that the total mean curvature $\int_{\mathbf S^{n-1}}H\,\mathrm dμ_γ$ is large enough rules out NNSC fill-ins, giving an partially affirmative answer to a conjecture by Gromov (see P.\,23 in \cite{Gromov4}). In the second part of this paper, we investigate the $θ$-invariant of Bartnik data and obtain some sufficient conditions for the existence of PSC fill-ins.

研究の動機と目的

• バートニクデータ$(\Sigma^{n-1}, \gamma, H)$ が非負スカラー曲率をもつ埋め込み計量をもつための条件を特定すること。
• 平均曲率 $H$ および全平均曲率 $\int H\,d\mu_\gamma$ が NNSC 埋め込みの障害として果たす役割を調査すること。
• スカラー曲率幾何における平均曲率の上限に関するグロモフの予想に対する部分的な肯定的解答を提供すること。
• $\theta$-不変量と幾何的接着技術を用いて、正スカラー曲率（PSC）埋め込みの存在の十分条件を確立すること。
• 3次元から高次元（$3 \leq n \leq 7$）へのスカラー曲率埋め込み問題の結果を拡張すること。

提案手法

• シュバルツシルトのネック構成を用いて、境界の平均曲率を指定した初期の PSC 計量を構成する。
• 超曲面に沿った接着手順を適用し、境界データが一致する2つの PSC 計量を結合し、正のスカラー曲率を保存する。
• PSC 埋め込みの存在を特徴付けるために $\theta$-不変量を用いる。
• 正スカラー曲率計量の $\mathbf{S}^{n-1}$ 上の同相類を用いて、異なる境界計量を関連付ける。
• 正の定数によるスケーリングに伴うスケーリングの議論を用いて、PSC 埋め込みをスケーリングされた計量間で移動する。
• $\delta$-コラール近傍にワーパード積構造を備えたことで、滑らかな接着を容易にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\gamma$ が $\mathbf{S}^{n-1}$ 上の標準計量と同相である場合、三つ組 $(\Sigma^{n-1}, \gamma, H)$ が非負スカラー曲率をもつ埋め込みをもつ条件は何か？
• RQ2 $H$ が $\mathbf{S}^{n-1}$ 上で十分に大きいと、$(\mathbf{S}^{n-1}, \gamma, H)$ は非負スカラー曲率をもつ埋め込みを持たないのだろうか？
• RQ3 $\gamma$ が正スカラー曲率で、標準計量と同相である場合、$\int_{\mathbf{S}^{n-1}} H\,d\mu_\gamma$ が大きくても NNSC 埋め込みは存在しないのだろうか？
• RQ4 $\theta$-不変量にどのような条件が満たされると、バートニクデータに対して PSC 埋め込みの存在が保証されるか？
• RQ5 $\gamma_1$ が負の平均曲率をもつ PSC 埋め込みをもつ場合、$\gamma_0$ と $\gamma_1$ が $\mathbf{S}^{n-1}$ 上の PSC 計量の空間で同相であるとき、$\gamma_0$ に対しても PSC 埋め込みを構成できるか？

主な発見

• $H$ が $\mathbf{S}^{n-1}$ 上で十分に大きい場合、$3 \leq n \leq 7$ であれば、$(\mathbf{S}^{n-1}, \gamma, H)$ は非負スカラー曲率をもつ埋め込みを持たない。
• $\gamma$ が $\mathbf{S}^{n-1}$ 上の正スカラー曲率計量で、標準計量と同相である場合、全平均曲率 $\int_{\mathbf{S}^{n-1}} H\,d\mu_\gamma$ が大きくても NNSC 埋め込みは存在しない。これはグロモフの予想に対する部分的な確認を提供する。
• $\gamma_0$ と $\gamma_1$ が $\mathbf{S}^{n-1}$ 上の PSC 計量の空間で同相であるとき、$(\Sigma^{n-1}, \gamma_1, -H_1)$ が $H_1 < \left(\frac{n-1}{n-2}\min R_{\gamma_1}\right)^{1/2}$ を満たす PSC 埋め込みをもつならば、任意の $H < \left(\frac{n-1}{n-2}\min R_{\gamma_0}\right)^{1/2}$ に対して $(\Sigma^{n-1}, \gamma_0, H)$ は PSC 埋め込みをもつ。
• $(\Sigma^{n-1}, \gamma, -H)$ が正の定数 $H$ をもつ PSC 埋め込みをもつならば、条件 $R_\gamma > \frac{n-2}{n-1}H^2$ の下で、$(\Sigma^{n-1}, \gamma, 0)$ に対しても PSC 埋め込みが存在する。
• $\delta$-コラール近傍にワーパード積計量 $g = dr^2 + q(r)\gamma_1$ を備えたものを用いて、境界スライスに沿った PSC 計量の滑らかな接着を構成する。
• $\theta$-不変量は、PSC 埋め込みの存在の十分条件を提供し、3次元の結果を高次元へ一般化する。