[論文レビュー] On the first sign change of $ heta(x) - x$

David J. Platt, Tim Trudgian|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2014

Analytic Number Theory Research参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、θ(x) < x がすべての x < 1.39 × 10^17 に対して成り立つことを確立し、先行する境界を改善した。また、明示的公式、リーマン・ゼータ関数の非自明な零点、ガウス型カーネルを用いた数値積分を用いて、θ(x) > x となる x < exp(727.951332668) の存在を証明した。この結果により、θ(x) − x の最初の符号変化が exp(727.951332668) 未満に発生することが確認され、10^152 個以上の連続する整数で θ(x) > x が成り立つことが示された。

ABSTRACT

Let $\ heta(x) = \\sum_{p\\leq x} \\log p$. We show that $\ heta(x)&lt;x$ for $2&lt;x&lt; 1.39\\cdot 10^{17}$. We also show that there is an $x&lt;\\exp(727.951332668)$ for which $\ heta(x) &gt;x.$

研究の動機と目的

• θ(x) = ∑_{p≤x} log p における θ(x) − x の最初の符号変化を特定すること。
• θ(x) > x を満たす最初の x の上界を、これまでの推定値を上回る範囲に改善すること。
• シューレンフェルトおよびデュサールトの研究に基づき、θ(x) < x が成り立つ範囲を拡張すること。
• 1.39 × 10^17 までで有効かつ計算的に検証可能な θ(x) < x の境界を提供すること。

提案手法

• ψ(x) の明示的公式を用い、ψ(x) = θ(x) + θ(x^{1/2}) + θ(x^{1/3}) + ⋯ を通じて θ(x) と関連付ける。
• θ(e^u)−e^u の積分を滑らかにするために、ガウス型カーネル K(u−ω) を適用し、符号変化の推定を可能にする。
• 非自明なゼータ関数の零点 ρ = 1/2 + iγ について、高さ T ≈ 5000 まで数値積分と和をとり、誤差境界を伴う。
• 倍精度の区間演算と並列化された素数のエラトステネスのふるいを用い、1.39×10^17 まで 10,390 のセグメントに分けて θ(x) を効率的に計算した。
• 既知の ψ(x)−x の推定値と θ(x)−x の誤差項を用いて、θ(x) > x となる区間を精緻化した。
• 結果の妥当性を確認するため、オリベイラ・エ・ソウザの π(x) テーブルを独立して用いた検証を実施した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 θ(x) < x が 1.39×10^17 まで成り立つという条件下で、θ(x) > x となる最小の x は何か？
• RQ2 θ(x)−x の最初の符号変化が exp(727.951332668) 未満に有効に境界づけられるか？
• RQ3 最初の符号変化が発生する区間で、θ(x) > x を満たす連続する整数はいくつあるか？
• RQ4 ψ(x)−x と ζ(s) の零点に関する既知の境界を用いて、θ(x)−x の誤差項をどの程度制御できるか？
• RQ5 非常に広範な範囲にわたり、並列化され、数値的に安定したアルゴリズムが θ(x) を正確に計算できるか？

主な発見

• すべての x < 1.39 × 10^17 に対して θ(x) < x が成り立つ。これは、8×10^11 までの先行境界を拡張したものである。
• θ(x) > x となる x < exp(727.951332668) が存在し、最初の符号変化が確認された。
• 区間 [exp(727.951332642), exp(727.951332668)] には、少なくとも 10^152 個の連続する整数で θ(x) > x が成り立つ。
• ω = 727.951332655 のとき、∑_{|γ|≤T} e^{iωγ}/ρ exp(−γ²/(2α)) は [−1.0013360278, −1.0013360277] の範囲にある。これは符号変化の確認を示している。
• 誤差項 R₁ + R₂ + R₃ + R₄ < 1.7×10⁻⁹ であり、積分の正の性質を保証し、θ(x) > x の存在を裏付けた。
• 計算には 16 コアのクラスタで 78,000 ノードアワーを要し、10,390 のセグメントと区間算術を用いて数値的信頼性を確保した。