[論文レビュー] On the Fractional Riemann-Liouville Integral of Gauss-Markov processes and applications

Mario Abundo, Enrica Pirozzi|arXiv (Cornell University)|May 20, 2019

Statistical Mechanics and Entropy参考文献 33被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ガウス・マーキョフ過程の分数階リーマン・リウビル積分を調査し、導出されたプロセスの平均、分散、共分散の閉形式表現を提示する。分数階パラメータ α が記憶効果および相関構造を顕著に制御することを示しており、数値結果から FIBM の共分散は α と共に急激に増加する一方、FISOU はその初期条件が確率的であるため、FIOU よりも広範な相関パターンを示し、神経系ダイナミクスにおける長距離記憶のモデル化を強化可能である。

ABSTRACT

We investigate the stochastic processes obtained as the fractional Riemann-Liouville integral of order $α\in (0,1)$ of Gauss-Markov processes. The general expressions of the mean, variance and covariance functions are given. Due to the central rule, for the fractional integral of standard Brownian motion and of the non-stationary/stationary Ornstein-Uhlenbeck processes, the covariance functions are carried out in closed-form. In order to clarify how the fractional order parameter $α$ affects these functions, their numerical evaluations are shown and compared also with those of the corresponding processes obtained by ordinary Riemann integral. The results are useful for fractional neuronal models with long range memory dynamics and involving correlated input processes. The simulation of these fractional integrated processes can be performed starting from the obtained covariance functions. A suitable neuronal model is proposed. Graphical comparisons are provided and discussed.

研究の動機と目的

• 通常のリーマン積分を分数階リーマン・リウビル積分（α ∈ (0,1)）に置き換えることで、統合ガウス・マーキョフ過程の理論を拡張すること。
• 標準ブラウン運動および非定常／定常オーナイシュタイン・ウーレンバック過程の分数階積分の平均、分散、共分散関数の解析的表現を導出すること。
• 分数階パラメータ α が導出されたプロセスの記憶および相関構造に与える影響を、数値的および図的比較を通じて調査すること。
• 長距離記憶を有する分数階神経系モデルにおけるサンプルパスのシミュレーションおよび初めての通過時刻の解析の基盤を提供すること。
• 分数階統合相関入力プロセスを活用し、α が提供する記憶制御の向上を活かした神経系モデルを提案すること。

提案手法

• 分数階リーマン・リウビル積分（α 階）を、標準ブラウン運動および非定常・定常オーナイシュタイン・ウーレンバック過程を含むガウス・マーキョフ過程に適用する。
• 分数階微積分の性質およびガウス・マーキョフ過程の2次モーメント構造を用いて、平均、分散、共分散関数の閉形式表現を導出する。
• 分数階パラメータ α を変化させた場合の共分散関数の数値的評価を実施し、分数階パラメータが記憶および相関ダイナミクスに与える影響を分析する。
• 3次元プロットおよびカラーマップを用いた図的比較により、時間および α 値に沿った共分散関数の進化を可視化する。
• 導出された共分散関数により、サンプルパスのシミュレーションが可能となり、さらなる初めての通過時刻の分析が可能になる。
• 入力プロセスを相関のあるガウス・マーキョフ過程の分数階積分としてモデル化した神経系モデルを提案し、α を記憶パラメータとして調整可能に設定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 通常のリーマン積分を分数階リーマン・リウビル積分（α 階）に置き換えると、ガウス・マーキョフ過程の統計的性質にどのような影響を与えるか？
• RQ2 標準ブラウン運動およびオーナイシュタイン・ウーレンバック過程の分数階積分の平均、分散、共分散の閉形式表現は何か？
• RQ3 分数階パラメータ α は、導出されたプロセスの相関構造および記憶効果にどのように影響を与えるか？
• RQ4 非定常および定常オーナイシュタイン・ウーレンバック過程の分数階積分の共分散行動にどのような相違があるか？
• RQ5 導出された共分散関数は、神経系モデルにおけるサンプルパスの効率的シミュレーションおよび初めての通過時刻解析を可能にするか？

主な発見

• 標準ブラウン運動の分数階積分（FIBM）の共分散関数は、α と共に急激に増加し、α ≈ 1 で約 15 の値に達する。これは強い記憶効果を示唆している。
• 非定常オーナイシュタイン・ウーレンバック過程の分数階積分（FIOU）の共分散はよりゆっくりと増加し、α ≈ 1 で約 2 の値に達する。これは相関が弱いことを反映している。
• 定常オーナイシュタイン・ウーレンバック過程の分数階積分（FISOU）は、すべての α において FIOU よりもわずかに高い共分散値を示し、特に小さい t および対角線付近の u において、より広範な相関パターンを示す。
• α = 0.2 の場合、FISOU の共分散は小さい t および対角線に近い u で高い値を示すが、α = 0.5 および 0.8 の場合、FISOU と FIOU の共分散パターンは次第に類似し始めるが、FISOU は依然としてより広範な相関を維持する。
• すべての3つのプロセスの分散および共分散は、大きな t に対して α と共に増加する。これは α が記憶の持続性を強化する役割を果たすことを確認している。
• 図的および数値的比較により、α が複雑系、特に神経系モデルにおける記憶長および時間スケールダイナミクスを制御する強力な調整パラメータであることが確認された。