[論文レビュー] On the Göttsche Threshold

Steven L. Kleiman, Vivek Shende+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 27被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、Göttscheの閾値—有理的表面における曲線のδ個のノードを持つものについて、セバリ多様体の次数がチャーン類の普遍多項式で与えられる最小の線束の次数—に対する鋭い上界を確立する。標準的なδ-非常に正則性条件を、非還元的、非埋め込み可能、または高々特異な曲線が属する3つの主要な部分集合における余次元条件へ緩和することで、著者らはℙ²およびHirzebruch面に対してGöttscheの予想された閾値⌈δ/2⌉ + 1が成り立つことを証明し、同様の境界が古典的デル・ペッツォ面に対しても適用可能であることを示す。

ABSTRACT

For a line bundle L on a smooth surface S, it is now known that the degree of the Severi variety of cogenus-d curves is given by a universal polynomial in the Chern classes of L and S if L is d-very ample. For S rational, we relax the latter condition substantially: it suffices that three key loci be of codimension more than d. As corollaries, we prove that the condition conjectured by Göttsche suffices if S is P^2 or S is any Hirzebruch surface, and that a similar condition suffices if S is any classical del Pezzo surface.

研究の動機と目的

• 有理的表面におけるδ個のノードを持つ曲線のセバリ多様体の次数が、c₁(S)、c₁(ℒ)、c₂(S)の普遍多項式で与えられる正確な条件を特定すること。
• 十分であるがあまりに制限的すぎる標準的なδ-非常に正則性条件を、より弱く幾何学的に意味のある条件へ緩和すること。
• ℙ²およびHirzebruch面におけるGöttscheの予想された閾値⌈δ/2⌉ + 1が成り立つことを検証し、古典的デル・ペッツォ面へその境界を拡張すること。
• 緩和された条件下で、δ個のノードを持つセバリ多様体が完全なセバリ多様体において開かつ稠密であることを確立することにより、数え上げ的不変性を保証すること。

提案手法

• 曲線が非還元的、または−K·D₁ ≤ 0を満たす成分、あるいは−K·D₁ = 1を満たす非埋め込み可能成分を持つものからなる閉部分集合V ⊂ |ℒ|を導入する。
• codim(V) > δならば、セバリ多様体|ℒ|δは余次元δであり、Vの外側で滑らかであることを証明し、次数が適切に定義されることを保証する。
• Vを、多重度≥3の成分で−K·D₁ ≤ 3を満たすもの、または特定の接合および自己交差条件を満たす複数の成分を持つ曲線を含むように拡張する。
• 変形理論と接空間の解析を用いて、一般の曲線が|ℒ|δ ∖ Vに属する場合にノード型特異点を持つことを示し、次元の上限を用いて高次特異点の可能性を除外する。
• 変形理論の結果（例：命題15および命題17）を適用して、曲線族の次元を制限し、等型変形を保証する。
• 変形写像γの像が接空間および正規束によって制約されることを用い、特異点がδ-ノード型を超えると矛盾が生じることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理的表面S上の線束ℒに対して、δ個のノードを持つ曲線のセバリ多様体の次数が、c₁(S)、c₁(ℒ)、c₂(S)の普遍多項式で与えられるのはどのような場合か？
• RQ2 標準的なδ-非常に正則性条件は、次数公式の普遍性を保ったまま緩和可能か？
• RQ3 ℙ²およびHirzebruch面におけるGöttscheの予想された閾値⌈δ/2⌉ + 1は、次数公式が有効であるための上界として成立するか？
• RQ4 曲線の部分集合にどのような幾何学的条件を課すと、δ個のノードを持つセバリ多様体が完全なセバリ多様体において開かつ稠密になるか？

主な発見

• S = ℙ²およびℒ = 𝒪(d)の場合、d ≥ ⌈δ/2⌉ + 1ならば、次数公式deg|ℒ|δ₊ = Gδ(S,ℒ)が成り立ち、ℙ²におけるGöttscheの予想が確認される。
• 任意のHirzebruch面において、非還元的曲線、非埋め込み可能曲線、高多重度または接合特異点を持つ曲線の各集合がすべて余次元>δを満たすならば、deg|ℒ|δ₊ = Gδ(S,ℒ)が成り立つ。
• 古典的デル・ペッツォ面においても、同様の3つの部分集合に対する余次元条件が成り立てば、普遍次数公式が成立する。
• 悪い部分集合Vの余次元がδを超える限り、セバリ多様体|ℒ|δ₊は|ℒ|δにおいて開かつ稠密であり、ノード型曲線が支配的である。
• 証明は、一般の曲線が|ℒ|δ ∖ Vに属する場合にノード型であることを、変形写像の像の次元上限による背理法によって示す変形理論的議論に依拠している。
• 結果は鋭いと言える。特に、最初のHirzebruch面（点のブローモップによるℙ²）では、条件が常に必要ではないことが示され、境界がタイトでないことが判明している。