[論文レビュー] On the geometry of some Equivariantly related manifolds

Llohann D. Sperança, Leonardo F. Cavenaghi|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 26被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、同変バンドル商を用いた幾何的構成を通じて、エキゾチックな多様体（エキゾチックな球面、Kervaire多様体、球面バンドルなど）を、主バンドルのクロス図式として実現する。これらの構造にチーリング変形を適用することにより、これまで未踏のクラスのコンpaktoかつ単連結な多様体に対して、正のリッチ曲率とほぼ非負の断面曲率を持つ新しい計量が構成される。

ABSTRACT

We provide a topological procedure to obtain geometric realizations of both classical and `exotic' $G$-manifolds, such as spheres, bundles over spheres and Kervaire manifolds. As an application, we apply the process known as Cheeger deformations to produce new metrics of both positive Ricci and almost non-negative curvature on such objects.

研究の動機と目的

• エキゾチックな多様体（エキゾチックな球面やKervaire多様体を含む）を、主バンドルの等長的商として統一的な位相的・幾何的枠組みで実現すること。
• コンパクトかつ単連結な多様体の新たなクラスに対して、正のリッチ曲率とほぼ非負の断面曲率を持つ計量の存在を確立すること。
• エキゾチックな球面および球面に沿ったバンドルを含む連結和に関する既知の曲率性質の結果を拡張すること。
• 特定のエキゾチックな商、例えば $Σ P\mathbb{C}^{n}$ および $Σ P\mathbb{H}^{n/2}$ が、正のリッチ曲率を持つ不変計量を有することを示すこと。
• 対称バンドル構造におけるチーリング変形による同変変形によって、そのような曲率計量の存在が保たれることを示すこと。

提案手法

• 群作用による商によって $M$ のエキゾチック実現 $M'$ を得る $G$-同変主バンドル $P \to M$ および $P \to M'$ のクロス図式を構成する。
• 全空間 $P$ にチーリング変形を適用し、主バンドル構造および $G \times G$-不変性を保つ一意パラメータ族計量 $g_{P_t}$ を得る。
• 多様体 $M$ および $M'$ のサブマニフォールド計量にチーリング変形を適用し、断面曲率の差が $\epsilon \|X \wedge Y\|^2_{g_P}$ で有界であることを保証する。
• 変形下での $A$-テンソルおよび垂直曲率項の不変性を活用し、底多様体上のリッチ曲率を制御する。
• 軌道テンソル $\mathcal{P}_p$ の固有値推定を用い、変形下で垂直成分が収縮することを示し、曲率制御を可能にする。
• チーリング変形における水平リッチ曲率の不変性を用い、$M$ と $M'$ 間で正の水平リッチ曲率が等価であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホモトピー球面やKervaire球面のようなエキゾチック多様体は、群作用による標準的バンドルの商として幾何的に実現可能か？
• RQ2 チーリング変形プロセスは、対称空間のエキゾチックな商に正のリッチ曲率を持つ計量を保存または生成するか？
• RQ3 どのようなクラスの連結和 $M^{n} \# \Sigma^{n}$ が、正のリッチ曲率およびほぼ非負の断面曲率を持つ計量を有するか？
• RQ4 エキゾチックな複素射影平面 $\Sigma P\mathbb{C}^{n}$ および $\Sigma P\mathbb{H}^{n/2}$ は、正のリッチ曲率を持つ不変計量を有するか？
• RQ5 同変バンドル構成によるエキゾチック商 $M'$ において、底多様体 $M$ に正のリッチ曲率が存在するとき、どのような条件下で $M'$ に対しても同様の正のリッチ曲率が保証されるか？

主な発見

• 本稿では、$M^7 \# \Sigma^7$ に対して、正のリッチ曲率とほぼ非負の断面曲率を持つ計量の存在が確立されている。ここで $M^7$ は $S^4$ 上の3次元球面バンドルである。
• $M^8 \# \Sigma^8$ に対しても、$M^8$ が $S^5$ 上の3次元球面バンドルまたは $S^4$ 上の4次元球面バンドルである場合、同変バンドル上のチーリング変形によりそのような計量が存在することが示された。
• この構成により、$M^{10} \# \Sigma^{10}$ に対しても正のリッチ曲率計量が得られ、$M^{10}$ が $S^7$ 上の3次元球面バンドル、$S^5$ 上の5次元球面バンドル、または $S^4$ 上の6次元球面バンドルである場合を含む。
• $M^{4m+1} \# \Sigma^{4m+1}$ に対しては、$M^{4m+1}$ が $S^{2m+1}$ 上の球面バンドルであり、ファイバーがユニタリ接バンドルの倍数を表す場合、そのような計量が存在する。
• エキゾチックな商 $\Sigma P\mathbb{C}^{n}$ および $\Sigma P\mathbb{H}^{n/2}$ は、水平リッチ曲率の制御により、$G$-不変計量を有し、正のリッチ曲率を持つことが示された。
• チーリング変形プロセスにより、任意の $\epsilon > 0$ に対して、$\epsilon \|X \wedge Y\|^2_{g_P}$ で有界されるように、$M$ と $M'$ 間の断面曲率差が制御可能であり、極限においてほぼ非負の曲率が得られる。