[論文レビュー] On the geometry of the Hilbert schemes of points in the projective plane

Weiping Li, Zhenbo Qin+1 more|ArXiv.org|May 25, 2001

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、射影平面 ℙ² 上の n 個の点のヒルベルト汎関手の幾何構造を研究し、その有効錐とネフ錐を特定し、最小次数の有理曲線を特徴づけ、n ≥ 4 のとき小収縮準同型写像のフラップの存在を証明する。主な貢献は、特定の極小的境界にホモロジーライクな曲線の完全な記述と、φ₁ が βₗ − (n−1)βₙ に張られる射を収縮する写像に対してフラップを構成することにある。

ABSTRACT

We classify minimal-degree curves in the Hilbert schemes of points on algebraic surfaces. When the algebraic surface is the projective plane, the nef cone and a flip structure of these Hilbert schemes are determined.

研究の動機と目的

• X = ℙ² に対してヒルベルト汎関手 X^{[n]} の有効錐とネフ錐を特定すること。
• 非常に豊富な線分束に関して、X^{[n]} 内のすべての有理曲線を次数 1 として特徴づけること。
• βₗ − (n−1)βₙ が張る極小的境界の収縮を研究すること。
• n ≥ 4 のとき、写像 φ₁ に対してフラップの存在を証明すること。
• X^{[n]} 内の曲線とグラスマンニアンおよび射影バンドル上の普遍族のファイバーとの幾何的対応を確立すること。

提案手法

• X^{[n]} の有効錐が、曲線 βₙ と βₗ − (n−1)βₙ によって張られることを示した。
• 非常に豊富な線分束 (nDₗ − Bₙ/2) を構成し、それに関する次数 1 の曲線が、βₙ または βₗ − (n−1)βₙ にホモロジーライクであることを示した。
• βₙ にホモロジーライクな曲線は、射影バンドル ψ_{n+1} : X^{[n,n+1]} → ℤ_{n+1} のファイバー内の直線の f_{n+1} による像として特徴づけられた。
• βₗ − (n−1)βₙ にホモロジーライクな曲線は、ℙ² 内の直線 C における n 点のヒルベルト汎関手内の直線として示された。
• 写像 φ₁ : X^{[n]} → Grass(H⁰(𝒪_X(n−1), n)) は k-非常に豊富性を用いて定義され、極小的境界 R = ℝ⁺·(βₗ − (n−1)βₙ) を収縮することが示された。
• 特異点の小解消を用いた吹き上げを介してフラップを構成し、除数類群の計算と基点自由線形系を用いてフラップの存在を検証した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 X = ℙ² に対してヒルベルト汎関手 X^{[n]} の有効錐とネフ錐の構造は何か？
• RQ2 非常に豊富な線分束に関して、X^{[n]} 内のどの有理曲線が最小次数を持つか？
• RQ3 βₙ にホモロジーライクな曲線は、普遍族を用いた幾何的特徴づけでどのように記述できるか？
• RQ4 βₗ − (n−1)βₙ にホモロジーライクな曲線は、ℙ² 内の直線における点のヒルベルト汎関手内の直線としてどのように記述できるか？
• RQ5 n ≥ 4 のとき、小収縮 φ₁ : X^{[n]} → φ₁(X^{[n]}) はフラップをもつか？

主な発見

• X^{[n]} の有効錐は βₙ と βₗ − (n−1)βₙ によって張られる。
• 非常に豊富な線分束 (nDₗ − Bₙ/2) は次数 1 の埋め込みを誘導し、すべての次数 1 の曲線は βₙ または βₗ − (n−1)βₙ にホモロジーライクである。
• βₙ にホモロジーライクな曲線は、ψ_{n+1} : X^{[n,n+1]} → ℤ_{n+1} のファイバー内の直線 C の f_{n+1}(C) として正確に表され、その像と基点によって一意に定まる。
• βₗ − (n−1)βₙ にホモロジーライクな曲線は、ℙ² 内の直線 C に対して Hilbⁿ(C) ⊂ X^{[n]} 内の直線として正確に表され、それぞれの曲線は一意にその直線 C を定める。
• 写像 φ₁ は極小的境界 ℝ⁺·(βₗ − (n−1)βₙ) の収縮であり、n ≥ 4 のとき小収縮であり、フラップをもつ。
• φ₁ のフラップは存在し、吹き上げと同型写像を含む可換図式を用いて構成され、フラップは KMM のフラップ予想を満たす。