[論文レビュー] On the Hedging of Options On Exploding Exchange Rates

Peter Carr, Travis C. Fisher+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 38被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ハイパーリアリティリスクと関連する厳密な局所マルティンゲール動的を示す為替レートのオプションに対する、ユーロとドルの2つのナマラル測度における共同スーパー複製コストを用いた、新たなプライシングオペレータを提案する。この手法により、為替レートがマルティンゲール性を欠く場合でも、両通貨において最小コストで継続的にヘッジ可能な状態を保証することで、プット・コール・パリティおよび国際的プット・コール同等性が回復される。

ABSTRACT

We study a novel pricing operator for complete, local martingale models. The new pricing operator guarantees put-call parity to hold for model prices and the value of a forward contract to match the buy-and-hold strategy, even if the underlying follows strict local martingale dynamics. More precisely, we discuss a change of numéraire (change of currency) technique when the underlying is only a local martingale modelling for example an exchange rate. The new pricing operator assigns prices to contingent claims according to the minimal cost for superreplication strategies that succeed with probability one for both currencies as numéraire. Within this context, we interpret the lack of the martingale property of an exchange-rate as a reflection of the possibility that the numéraire currency may devalue completely against the asset currency (hyperinflation).

研究の動機と目的

• 為替レートが厳密な局所マルティンゲールに従うモデルにおいて、プット・コール・パリティおよび国際的プット・コール同等性が崩壊するのを是正すること。
• 一つの通貨が完全な脱価（ハイパーリアリティ）を経験する市場における、オプションプライシングのヘッジに基づく厳密な根拠を提供すること。
• 国内通貨および外国通貨の両方の測度下で、継続的ヘッジ可能な継続的ヘッジ戦略の最小コストに基づくプライシングオペレータを構築すること。
• 新しいナマラルが消滅する可能性がある（例：ハイパーリアリティによる）状況下でのナマラル変更を扱うために、確率的計算および測度論を拡張すること。
• 共同スーパー複製が可能となる条件を確立し、その最小コストが提案されたプライシングオペレータに一致することを示すこと。

提案手法

• 為替レートが厳密な局所マルティンゲールであっても、国内および外国通貨をヘッジインストルメントとして用いる二重ナマラルフレームワークを導入する。
• 国内および外国のリスク中立的測度下で、確率1で成功する共同スーパー複製戦略の最小コストとして、新たなプライシングオペレータを定義する。
• 非負の局所マルティンゲールにFöllmer測度構成を適用し、ナマラルが消滅する場合にも拡張することで、測度変更技術を可能にする。
• 局所化の議論と確率的計算を用いて、適切な可積分性条件下で、新しい測度下での変換過程が局所マルティンゲールのままであることを示す。
• 両ナマラル下での動的を保存する測度変更を用いて、最小の共同スーパー複製コストと提案されたプライシング式の等価性を確立する。
• 新しい測度のラドン＝ニコディム微分を用いた一般式を導出し、買い・ホールドフォワード価格と整合することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 為替レートが厳密な局所マルティンゲールであるモデルにおいて、プット・コール・パリティはどのように回復可能か？
• RQ2 国内および外国通貨をナマラルとして用いる場合、一つの通貨が完全に脱価する可能性がある状況下で、継続的ヘッジ可能な継続的ヘッジ戦略の最小コストは何か？
• RQ3 為替レートがマルティンゲールでない場合でも、両通貨の測度を尊重する一貫性のあるプライシングオペレータを構築可能か？
• RQ4 ハイパーリアリティによって生じるような、新しいナマラルが消滅する状況下でのナマラル変更を支える数学的フレームワークは何か？
• RQ5 共同スーパー複製戦略が存在する条件は何か？ また、そのコストが提案されたプライシングオペレータに一致するのはどのような場合か？

主な発見

• 提案されたプライシングオペレータにより、満期時に$X_T$を支払うフォワード・コンタクトの価格が、正確に$X_0$に一致し、買い・ホールド戦略と整合的になる。
• 為替レートが厳密な局所マルティンゲールであっても、新しいプライシングオペレータ下で、プット・コール・パリティおよび国際的プット・コール同等性が回復される。
• 両ナマラル測度下での最小の共同スーパー複製コストは、局所マルティンゲール測度下での期待値よりも厳密に大きい。これは、完全な脱価リスクを反映している。
• Föllmer測度が非負の局所マルティンゲールに拡張され、為替レートが爆発する（ハイパーリアリティに対応する）新しい確率測度の構成が可能になった。
• 新しい測度は元のリスク中立的測度と同等ではないが、絶対的連続性を満たしており、両測度下で一貫した確率的計算が可能になる。
• 最小の共同スーパー複製コストは、新しい測度のラドン＝ニコディム微分を含む式で特徴づけられ、これは先行研究で提案されたプライシングオペレータと同等であることが示され、今やヘッジに基づく厳密な根拠が与えられた。