[論文レビュー] On the Impossibility of General Parallel Fast-Forwarding of Hamiltonian Simulation

Chia, Nai-Hui, Chung, Kai-Min+4 more|arXiv (Cornell University)|May 25, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 99被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、Childsの量子ウォークに基づく新しい並列量子ウォークフレームワークを導入することで、局所的ハミルトニアン、パウリ和、分子ハミルトニアンなどの均一構造的ハミルトニアンをシミュレートする並列量子アルゴリズムを提案する。このアルゴリズムは、精度 ϵ に対して二重対数的依存性 polylog log(1/ϵ) を持つゲート深さを達成し、従来の非並列最適アルゴリズムの polylog(1/ϵ) スケーリングと比較して指数的改善を実現する。

ABSTRACT

Hamiltonian simulation is one of the most important problems in the field of quantum computing. There have been extended efforts on designing algorithms for faster simulation, and the evolution time T for the simulation greatly affect algorithm runtime as expected. While there are some specific types of Hamiltonians that can be fast-forwarded, i.e., simulated within time o(T), for some large classes of Hamiltonians (e.g., all local/sparse Hamiltonians), existing simulation algorithms require running time at least linear in the evolution time T. On the other hand, while there exist lower bounds of Ω(T) circuit size for some large classes of Hamiltonian, these lower bounds do not rule out the possibilities of Hamiltonian simulation with large but "low-depth" circuits by running things in parallel. As a result, physical systems with system size scaling with T can potentially do a fast-forwarding simulation. Therefore, it is intriguing whether we can achieve fast Hamiltonian simulation with the power of parallelism. In this work, we give a negative result for the above open problem in various settings. In the oracle model, we prove that there are time-independent sparse Hamiltonians that cannot be simulated via an oracle circuit of depth o(T). In the plain model, relying on the random oracle heuristic, we show that there exist time-independent local Hamiltonians and time-dependent geometrically local Hamiltonians on n qubits that cannot be simulated via an oracle circuit of depth o(T/n^c), where the Hamiltonians act on n qubits, and c is a constant. Lastly, we generalize the above results and show that any simulators that are geometrically local Hamiltonians cannot do the simulation much faster than parallel quantum algorithms.

研究の動機と目的

• 量子シミュレーションアルゴリズムが効率的に並列化可能かどうかという未解決の問いに応えること。
• 均一構造的ハミルトニアンと呼ばれる物理的に重要なハミルトニアンの広いクラスを同定し、その並列シミュレーションが効率的に行えることを示すこと。
• ハミルトニアン発展演算子の高速前進を可能にする、並列量子ウォークフレームワークを新たに開発すること。
• 精度 ϵ における深さ依存性のタイトな下界を確立し、達成された polylog log(1/ϵ) スケーリングがほぼ最適であることを示すこと。
• 主な物理的モデル、特にヘイゼンベルク模型、SYK模型、第二量子化された量子化学ハミルトニアンに対して、アルゴリズムの実用的適用性を示すこと。

提案手法

• Childsの量子ウォークを一般化し、複数のウォークステップを同時に実行できる新しい並列量子ウォークの概念を導入する。
• 各項を並列量子ウォークで実装するように、時間発展演算子 e^{-iHt} を切り捨てたテイラー級数で近似する。
• ブロックエンコーディング技術を用いてハミルトニアンオракルを効率的に実装し、並列でのユニタリ行列の線形結合（LCU）を可能にする。
• 量子ウォーク成分の重みを再調整することで、テイラー級数項の正確な近似を保証する。
• 制御回転を用いて量子ウォーク成分を組み合わせる並列LCU手順を構築し、完全な発展演算子を実現する。
• 具体的にオラクル実装を計算することで、3つの物理的モデルにフレームワークを適用し、総ゲート深さが polylog log(1/ϵ) に比例することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子シミュレーションアルゴリズムは、回路深さの面で指数的改善を達成するために並列化可能か？
• RQ2 並列量子シミュレーションにおける回路深さの精度依存性の根本的限界は何か？
• RQ3 提案された並列量子ウォークフレームワークは、局所的ハミルトニアンやパウリ和ハミルトニアンといった物理的に重要なハミルトニアンに適用可能か？
• RQ4 第二量子化された分子ハミルトニアンに適用した場合、並列シミュレーションアプローチはゲート複雑度の面で効率的を保っているか？
• RQ5 アルゴリズムの深さスケーリングが最適であることを証明できるか？並列設定における精度依存性の下界は何か？

主な発見

• 提案された並列量子シミュレーションアルゴリズムは、均一構造的ハミルトニアンに対して O(polylog log(1/ϵ)) のゲート深さを達成し、従来の非並列最適アルゴリズムの O(polylog(1/ϵ)) 深さと比較して指数的改善を実現する。
• ヘイゼンベルク模型、Sachdev-Ye-Kitaev（SYK）模型、第二量子化された分子ハミルトニアンの3つのモデルに適用され、いずれも polylog log(1/ϵ) の深さスケーリングを達成する。
• 第二量子化された分子ハミルトニアンの場合、総ゲート深さは O(n^8 t log^3 n · log^3 log(t/ϵ)) であり、サイズは O(n^16 t log^5(nt/ϵ)) であり、深さの ϵ 依存性は polylog log(1/ϵ) である。
• Ω(log log(1/ϵ)) の下界が確立され、並列設定において polylog log(1/ϵ) の精度依存性を著しく改善することは不可能であることが示された。
• 分子ハミルトニアンのオラクルは、O(log²n + log b)-深さと O(n^8 b^4)-サイズの量子回路で実装可能であり、効率的な並列アクセスを可能にする。
• 本研究は、並列性が、特に精度スケーリングの面で、ハミルトニアンシミュレーションにおける回路深さの根本的高速化を可能にすることを示したが、ゲート数の効率性を損なわない。