[論文レビュー] On the inviscid limit for 2D incompressible flow with Navier friction condition

Milton C. Lopes Filho, Helena J. Nussenzveig Lopes+1 more|ArXiv.org|Jul 22, 2003

Navier-Stokes equation solutionsMathematics参考文献 14被引用数 21

ひとこと要約

本稿は、2次元非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式の境界条件としてのナビエ摩擦条件を用いる場合、初期渦度が $L^p(\Omega)$ に属する $p>2$ の場合に、非粘性極限の解析を拡張したものである。滑らか化に基づく近似と $L^p$ 渦度推定を用いて、粘性解がオイラー方程式の弱解に強く収束することを確立している。主な貢献は、従来の知られていたよりも正則性の低い初期データのもとでの非粘性極限の厳密な正当化である。

ABSTRACT

In [1], T. Clopeau, A. Mikelić, and R. Robert studied the inviscid limit of the 2D incompressible Navier-Stokes equations in a bounded domain subject to Navier friction-type boundary conditions. They proved that the inviscid limit satisfies the incompressible Euler equations and their result ultimately includes flows generated by bounded initial vorticities. Our purpose in this article is to adapt and, to some extent, simplify their argument in order to include $p$-th power integrable initial vorticities, with $p>2$. [1] Clopeau, T., Mikelić, A., Robert, R., {\it On the vanishing viscosity limit for the 2D incompressible Navier-Stokes equations with the friction type boundary conditions}, Nonlinearity {\bf 11} (1998) 1625--1636.

研究の動機と目的

• 2次元非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式のナビエ摩擦境界条件に対する非粘性極限結果を、$p>2$ の $L^p(\Omega)$ 初期渦度に拡張すること。以前の研究で扱われた有界渦度の場合を超えて行う。
• ナビエ摩擦条件下で、粘性解の渦度の $L^p$ ノルムの存在と一様有界性を確立すること。
• 粘性が消える極限において、$L^p$ 初期渦度（$p>2$）のもとで、粘性解が非圧縮性2次元オイラー方程式の弱解に強く収束することを証明すること。
• ナビエ摩擦条件下での非粘性極限における初期データの臨界正則性閾値を、$p=2$ と仮定するのではなく、$p>2$ にまで拡張できるか検討すること。

提案手法

• 初期速度場 $u_0$ を滑らか化して、滑らかで、発散がゼロで、境界条件を満たす接線型の初期データの列を構成する。
• Clopeau らの結果を用いて、滑らかな初期データのもとでの適切性を保証し、滑らか化された初期データを用いた粘性解 $u^\nu_n$ の列を構築する。
• ナビエ摩擦下での渦度方程式の構造とエネルギー推定を用いて、粘性解の渦度 $\omega^n$ に対する一様 $L^p$ バインドを確立する。
• 粘性 $\nu$ と滑らか化パラメータ $n$ に依存しない、$L^p$ ノルムの事前推定を、バイオ＝サバール作用素の $L^p$ 有界性に依拠して導出する。
• 弱収束 $L^2((0,T);H^1(\Omega))$ とコンパクト性の議論による $C([0,T];L^2(\Omega))$ での強い収束を用いて、粘性方程式における極限を取る。
• 極限が2次元オイラー方程式の弱形式を満たすことを結論づけ、$L^p$ 初期渦度（$p>2$）における非粘性極限の成立を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ナビエ摩擦境界条件を有する2次元非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式の非粘性極限は、$p>2$ の $L^p(\Omega)$ 初期渦度のもとで、有界渦度の場合を超えて確立可能か？
• RQ2 ナビエ摩擦下で非粘性極限に至るための、渦度の $L^p$ ノルムに対する一様事前推定として必要な十分な条件は何か？
• RQ3 ナビエ摩擦条件下での非粘性極限における初期データの臨界正則性閾値は本当に $p=2$ であるのか、それとも $p>2$ にまで拡張可能か？
• RQ4 粘性近似においてナビエ摩擦が、$\nu \to 0$ の極限で渦度の $L^p$ ノルムを保存するか。もしそうなら、どのような条件下で成立するか？
• RQ5 滑らか化された初期データと $p>2$ に基づくコンパクト性の議論を用いて、粘性が消える極限を厳密に正当化できるか？

主な発見

• 初期渦度が $L^p(\Omega)$ に属する $p>2$ の場合、粘性解の渦度 $\omega^\nu$ の $L^p$ ノルムは、時間と粘性 $\nu$ に依存せず一様に有界である。
• 粘性解の部分列 $u^{\nu_k}$ は $\nu_k \to 0$ のとき、$C([0,T];L^2(\Omega))$ で強く収束し、その極限は2次元オイラー方程式の弱形式を満たす。
• 極限解 $u$ は、標準的な意味で非圧縮性2次元オイラー方程式の弱解であり、発散がゼロで境界に接するテストベクトル場 $\varphi$ に対して、恒等式 $\int_0^T \int_\Omega u\varphi_t + u(u\cdot\nabla)\varphi \, dxdt + \int_\Omega u_0 \varphi(\cdot,0) \, dx = 0$ を満たす。
• 収束の抽出には、時間微分に関する $L^\infty((0,T);W^{1,p}(\Omega))$ および $L^2((0,T);H^{-1}(\Omega))$ の一様有界性に依拠している。
• ナビエ摩擦条件下での非粘性極限における初期データの臨界正則性閾値が $p=2$ であるとは確認されていないため、最適な $p$ の値は未解決の問題のまま残っている。
• 極限解が渦度の $L^p$ ノルムを保存するかという問題は、粘性領域における境界での渦度生成が可能であるため、本稿では未解決のまま残っている。