[論文レビュー] On the irreducible components of characteristic varieties

Alexandru Dimca|ArXiv.org|Mar 9, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、滑らかで、非特異で、準射影的複素多様体上のランク1局所系に関連する特性多様体の不変部分多様体の構造を調査する。正次元の部分多様体は、曲線へのファイブレーションに由来する平行移動されたトーラスであることが示され、特に、基底曲線がコンパクトの場合、直接像層の特異的補題がシングルトンでないことを示す重要な結果が得られる。これにより、固有と非固有の場合の微妙な違いが解消される。

ABSTRACT

This is a quick survey on the characteristic varieties associated to rank one local systems on a smooth, irreducible, quasi-projective complex variety $M$. A key new result is Proposition 1.8, giving additional information on the constructible sheaf $\F=R^0f_*(\LL)$, where $\LL$ is a rank one local system on $M$ and $f:M o S$ is a surjective morphism with $S$ a smooth curve and the generic fiber $F$ of $f$ connected. Corollary 1.9 says that for $S$ compact, the singular support of $\F$ cannot be a singleton.

研究の動機と目的

• 準射影的多様体上のランク1局所系の特性多様体の不変部分多様体の幾何学的・位相的構造を理解すること。
• 特に、孤立した torsion 点と平行移動された部分トーラスに関して、固有と非固有の場合の差異を明確にすること。
• 基底曲線がコンパクトである場合、直接像層の特異的補題がシングルトンになれない条件を確立すること。
• ホモロジー情報から得られる有限アーベル群のポントリャーギン双対を用いて、部分多様体の正確なパラメータ化を提供すること。
• コホホロジー次元の境界を用いて、高次特性多様体が第一特性多様体とどのように関係するかを示すこと。

提案手法

• S が滑らかな曲線で、一般ファイバーが連結であるようなファイブレーション f: M → S を用い、正次元の部分多様体を ρ · f*(T(S)) の形の平行移動された部分トーラスとしてパラメータ化する。
• 直接像層 F = R^0f_*(L_ρ) の特異的補題がファイブレーションの位相とどのように関係するかを、ホモロジー代数を用いて分析する。
• T(f) = ker(f_*) / im(i_*) という有限アーベル群のポントリャーギン双対 Ť(f) を用い、与えられたファイブレーションに対してそのような部分多様体の数を分類する。
• コホホロジーの境界を導出する：dim H^1(M, L' ⊗ f^{-1}L) ≥ -χ(S) + |Σ(R^0f_*(L_ρ))| であり、一般の L に対して等号が成り立つ。この境界を用いて、高次特性多様体の部分多様体を特徴付ける。
• 代数幾何学と局所系の結果を応用し、原点を通らない部分多様体は特定の状況（例：χ(S) = 0）でのみ現れることを示し、Suciuの8本線配置のような明示例を提示する。
• 可解層とその特異的補題の枠組みを用いて、S がコンパクトである場合、Σ(F) がシングルトンにはなりえないことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 第一特性多様体 V_1(M) の正次元不変部分多様体の正確な幾何学的構造は何か？
• RQ2 S が滑らかな曲線で、ファイバーが連結であるようなファイブレーション f: M → S は、これらの部分多様体とどのように関係するか？
• RQ3 R^0f_*(L_ρ) の特異的補題がシングルトンとなる条件は何か？また、S がコンパクトである場合、なぜそれが不可能なのか？
• RQ4 高次特性多様体 V_q(M) は、第一特性多様体と直接像層のコホホロジーとどのように関係するか？
• RQ5 torsion 特徴と T(f) のポントリャーギン双対は、V_1(M) の部分多様体のパラメータ化において果たす役割は何か？

主な発見

• V_1(M) の正次元不変部分多様体は、f: M → S が滑らかな曲線へのファイブレーションで、b_1(S) = dim W かつ ρ が torsion 特徴であるとき、平行移動された部分トーラス ρ · f*(T(S)) として表される。
• 固定されたファイブレーション f に対して、そのような部分多様体の数はポントリャーギン双対 Ť(f) によってパラメータ化され、χ(S) = 0 のとき非自明な要素を持つ。
• χ(S) = 0 ならば、W = ρ · f*(T(S)) は必ずしも単位元を含まず、f*(T(S)) は V_1(M) の部分多様体であるとは限らない。例として、dim W = 2 で S が楕円曲線、または dim W = 1 で S = C^* の場合が挙げられる。
• W_{f,ρ} に属する L' に対して、H^1(M, L') の一般次元は -χ(S) + |Σ(R^0f_*(L_ρ))| 以上で下から抑えられ、すべての L ∈ T(S) のうち有限個を除いて等号が成り立つ。
• P^n における超曲面の補集合に対して、関連する曲線 S は d 個の点を除いた C であり、1 ∈ W ならば、一般の dim H^1(M, L') = d - 1 である。
• 非固有の場合、Σ(F) はシングルトンになり得るが、補題1.9により、S がコンパクトである場合にはこれが不可能であることが示され、固有の場合との主要な違いが解消される。