[論文レビュー] On the measure of entanglement

Adam Majewski|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2001

Advanced Operator Algebra Research参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、選択的理論とコンpact凸集合解析を用いて、一般の量子系（無限次元を含む）における量子もつれの形成（EoF）を厳密に再定式化する。元々の定義にあった曖昧さを解消し、EoFがゼロであることと状態が分離可能であることとは同値であることを証明し、凸性および位相的性質を確立するとともに、最大境界測度を用いた最適分解の存在を示し、有限次元を超えたもつれの定量的評価のための数学的に整合性のある枠組みを提供する。

ABSTRACT

In this paper we present the novel qualities of entanglement of formation for general (so also infinite dimensional) quantum systems. A major benefit of our presentation is a rigorous description of entanglement of formation. In particular, we indicate how this description may be used to examine optimal decompositions. Illustrative examples showing the method of estimation of entanglement of formation are givem .

研究の動機と目的

• 混合状態におけるもつれの形成（EoF）の元々の定義に内在する基礎的曖昧さを解消すること。
• 一般（無限次元を含む）の量子系に適用可能な数学的に厳密かつ位相的に良好なEoFの定義を提供すること。
• EoFがゼロであることと状態が分離可能であることとは同値であることを確立し、分離可能性のための健全な基準を提供すること。
• 分解理論と境界積分に基づく枠組みを構築し、特に最適分解の分析と計算に用いること。
• Bennett らの元々の定義との関係を明確にし、一貫性を保ちつつ適用範囲を拡張すること。

提案手法

• 与えられた状態の表現測度の集合における最大測度を用いて、コンパクト凸集合理論と境界積分を用いてEoFを定義する。
• Choquetの定理とLumerの存在定理を適用し、エントロピー汎関数を最大化する単体的境界測度の存在を証明する。
• 測度論的枠組みを用いて、状態を純粋状態の分解に分けるすべての方法についてエントロピー汎関数の下界をEoFとして定義し、定義の明確さを保証する。
• Choquet単体における最大測度と極値測度の概念を用いて、最適分解を特徴付ける。
• 状態空間の構造と有限次元部分系におけるvon Neumannエントロピーの連続性を活用して、EoFの凸性と連続性を確立する。
• 有限次元系では、新しいEoFの定義がBennett らの元々の定義と一致することを示し、新しいアプローチの妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 元々の分解への最小化が不適切となる無限次元量子系において、もつれの形成を数学的に厳密に定義できるか？
• RQ2 一般の複合系において、もつれの形成がどのような位相的および凸性の性質を持つのか？
• RQ3 任意の混合状態に対して最適分解（平均エントロピーを最小化するもの）は存在するか？ そして測度論を用いてどのように特徴づけられるか？
• RQ4 提案されたEoFはBennett らの元々の定義とどのように関係しているのか？ 両者が一致する条件は何か？
• RQ5 この枠組みは、von Neumannエントロピーの代わりに他の凹関数を用いることで一般化可能か？ その場合のもつれ測度への影響は何か？

主な発見

• 選択的理論と境界測度を用いることで、一般の量子系（無限次元を含む）におけるもつれの形成が数学的に厳密に定義された。
• EoFがゼロであることと状態が分離可能であることとは同値であり、完全で数学的に整合性のある分離可能性基準が得られた。
• もつれの形成は状態空間上で凸関数であり、コンパクト凸集合論の応用により、その位相的性質が良好に保たれている。
• 最適分解が存在し、Choquet単体における表現測度の最大境界測度によって実現されることが特徴づけられた。
• 有限次元系では、新しいEoFの定義はBennett らの元々の定義と一致し、一貫性が裏付けられた。
• この枠組みはvon Neumannエントロピーを超えて一般化可能であり、純粋状態でゼロとなる連続的かつ非負の凹関数を用いた、代替のもつれ測度の構築を可能にする。