[論文レビュー] On the monodromy of moduli spaces of sheaves on K3 surfaces II

Eyal Markman|ArXiv.org|May 1, 2003

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 44被引用数 15

ひとこと要約

この論文は、K3表面の点のヒルベルトスキームの特徴関数のモノドロミー表現が、ムカイ格子における反射に関連する幾何的対応から生じることを確立している。この対応が、区分的初等変換と被約的対合を通じてモノドロミー作用素を誘導することを証明し、代数的幾何学と導来カテゴリおよびホッジ理論を結びつける。

ABSTRACT

Let S be a K3 surface. In part I of this paper, we constructed a representation of the group Aut D(S), of auto-equivalences of the derived category of S. We interpreted this infinite dimensional representation, as the natural action of Aut D(S) on the cohomology of all moduli spaces of stable sheaves (with primitive Mukai vectors) on S. The main result, of part I, is the precise relation of this action with the monodromy of the Hilbert schemes S^[n] of points on the surface. The proof of the above result was reduced, in part I, to the case of two monodromy operators of S^[n], associated with choices of line bundles on the surface S, of degree 2n-4 and 2n respectively. When n=1, the first sequence of monodromy operators specializes to the reflection by a -2 curve. The n=1 case of the second sequence is related to the Galois involution, of a double cover of the projective plane, branched along a sextic. We complete the proof by treating these two sequences of examples.

研究の動機と目的

• ヒルベルトスキームの整数コホロロジー上のモノドロミー表現の幾何的実現を確立すること。
• ムカイ格子内の等長変換、特に $-2$ および $+2$ ベクトルに関する反射の作用が、モジュライ空間上の実際の対応にどのように関連するかを特定すること。
• これらの対応が変形理論および区分的初等変換を通じてモノドロミー作用素を誘導することを示すこと。
• これらの等長変換のコホロロジー的作用が、導来カテゴリ $D(S)$ の自己同値にどのように関連するかを示し、幾何学とカテゴリフィケーションを結びつけること。
• 退化を解析し、被約的対合を持つ曲線上の局所系統を用いることで、誘導されたコホロロジー自己準同型がモノドロミー作用素であることを証明すること。

提案手法

• ヒルベルトスキームのブリル・ノイマン層に沿ったファイバー積の閉包として、$\sum_{t=0}^\mu \mathcal{Z}_t \subset S^{[n]} \times S^{[n]}$ なる対応を構成する。
• 特異点 $\ell$ における二次形式の負の部分に接する曲線 $C$ 上で、この対応を区分的初等変換によって変形する。
• 最小の層に沿った正規被覆への変形を用いて、特異ファイバー付近における対応の振る舞いを解析する。
• 非常に正則なラインバンドル $L$ から生じる $+2$ ベクトルによって誘導される被約的対合の存在に依拠し、相対的対応を定義する。
• ベース曲線 $C$ 上の対合 $\rho$ を用いて、分類写像 $\kappa'$ と $\kappa''$ を周期写像と関連づけ、$p \circ \kappa' = \rho \circ p \circ \kappa''$ を示す。
• 局所系統 $\overline{C} \setminus \{\bar{\ell}\}$ 上のモノドロミーを解析することで、誘導されたコホロロジー作用 $\mathcal{Z}_*$ がモノドロミー作用素であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルベルトスキーム $S^{[n]}$ のコホロロジーのモノドロミー表現を、代数的対応によってどのように幾何的に実現できるか？
• RQ2 ムカイ格子内の反射（$-2$ および $+2$ ベクトルに関して）と $D(S)$ の自己同値の間にはどのような関係があるか？
• RQ3 $S^{[n]}$ 上のブリル・ノイマン層の分割が、$\Gamma_v$ 内の等長変換を実現する対応をどのように誘導するか？
• RQ4 このような等長変換のコホロロジー的作用が、変形および局所系統解析によってモノドロミー作用素であることを示せるか？
• RQ5 モノドロミー作用が曲線 $C$ の選択に依存しない程度はどの程度か？また、パrameter $t$ に関して解析的であるか？

主な発見

• 対応 $\sum_{t=0}^\mu \mathcal{Z}_t$ は、ムカイ格子内の反射 $\tau_n$ に対応するコホロロジー自己準同型 $\gamma(\tau_n)$ を誘導する。
• 対応 $\sum_{t=0}^\mu \mathcal{Z}_t$ のコホロロジー類は、公式 (7) を用いて $S \times S^{[n]}$ 上のユニバーサルイデアル・シーヴのチャーン類で表される。
• $H^*(S^{[n]}, \mathbb{Z})$ 上の作用 $\mathcal{Z}_*$ は、$\overline{C} \setminus \{\bar{\ell}\}$ 上の局所系統のモノドロミーを通じてモノドロミー作用素として特定される。
• この構成は曲線 $C$ の選択に依存せず、$t$ に関して解析的に変化するため、モノドロミーが適切に定義されている。
• $+2$ 反射によって誘導される対合 $\rho$ は、$S^{[n]}$ 上の被約的対合に対応し、長さ $n$ の部分スキーム $D$ を、$2n$ 点からなる部分スキーム $Z$ 内の補集合 $Z \setminus D$ に写す。
• モノドロミー作用は、$\lim_{t \to \ell} g_{t*}$ としての極限として生じる。ここで $g_t$ は $C \setminus \{\ell\}$ 上の $t$ におけるファイバー間の同型写像である。これにより、モノドロミーの幾何的起源が確認される。