[論文レビュー] On the Motive of the Stack of Bundles

Kai Behrend, Ajneet Dhillon|ArXiv.org|Dec 29, 2005

Advanced Algebra and Geometry参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、滑らかな射影的曲線 $C$ 上の $G$-バンドルのスタックのモチーフについて、予想的な公式を提示する。この公式は、$C$ のモチーフ的ゼータ関数の特別値によって表される。この公式は算術幾何学とトポロジーの結果を統一する：$\mathbb{C}$ 上では、Poincaré の特徴量を用いて、Atiyah-Bott および Teleman の結果を回復する。$\mathbb{F}_q$ 上では、数え上げ測度を用いて、Tamagawa 数の予想を示唆する。主な貢献は、Weil のTamagawa数の予想に対するモチーフ的修正である。

ABSTRACT

Let $G$ be a split connected semisimple group over a field. We give a conjectural formula for the motive of the stack of $G$-bundles over a curve $C$, in terms of special values of the motivic zeta function of $C$. The formula is true if $C=\pp^1$ or $G=\sln$. If $k=\cc$, upon applying the Poincaré or Serre characteristic, the formula reduces to results of Teleman and Atiyah-Bott on the gauge group. If $k=\ffq$, upon applying the counting measure, it reduces to the fact that the Tamagawa number of $G$ over the function field of $C$ is $|π_1(G)|$.

研究の動機と目的

• 滑らかな射影的曲線 $C$ 上の $G$- torsor のモジュライスタック $\mathfrak{Bun}_{G,C}$ のモチーフに対する予想的な表現を定式化すること。
• 既知の算術幾何学およびトポロジーの結果を統一すること——具体的には、$\mathbb{C}$ 上での Poincaré の特徴量と、$\mathbb{F}_q$ 上での数え上げ測度を、一つのモチーフ的枠組みで統合すること。
• グローバルなモチーフ的統合理論における測度としての候補として、モチーフ的 Tamagawa 数 $\tau(G)$ を提案すること。
• 特別な場合における予想の裏付けを提供すること：$G = \mathrm{SL}_n$ および $C = \mathbb{P}^1$ の場合、および $\mathbb{C}$ 上の単連結な $G$ の場合。

提案手法

• 次元的完成化 $\widehat{K}_0(\mathrm{Var}_k)$ と $\mu(\mathrm{GL}_n)$ の逆元を用いて、グローバル商の層で分割可能な代数的スタック $\mathfrak{X}$ のモチーフ $\mu(\mathfrak{X})$ を定義する。
• 標準的不変量がすべてその上を通過するように保証するため、 torsor の関係を含む修正 $K$-環 $\widehat{K}_0^G(\mathrm{Var}_k)$ を導入する。
• 単連結な $G$ に対して、$\mathfrak{Bun}_{G,C}$ のモチーフを $\mu(\mathfrak{Bun}_{G,C}) = \mathbb{L}^{(g-1)\dim G} \prod_{i=1}^r Z(C, \mathbb{L}^{-d_i})$ と表現する。ここで $d_i$ は $G$ の指数に 1 を加えたものである。
• Poincaré の特徴量を適用して、$\mathbb{C}$ 上でゲージ群の Poincaré 級数に関する Teleman の結果を回復する。
• $\mathbb{F}_q$ 上で数え上げ測度を適用して、$C$ の関数体上の $G$ の Tamagawa 数が $|\pi_1(G)|$ に等しいことを回復し、この場合に予想が正当化されることを確認する。
• $G = \mathrm{SL}_n$ に対して、[BGL94] の行列的除数構成を用いて直接的に公式を検証する。$C = \mathbb{P}^1$ に対しては、Grothendieck および Harder の $G$- torsor の明示的分類を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数体上の $G$-バンドルに対して、Tamagawa 数の予想のモチーフ的類似は何か？
• RQ2 曲線 $C$ のモチーフ的ゼータ関数を用いて、スタック $\mathfrak{Bun}_{G,C}$ のモチーフをどのように表現できるか？
• RQ3 予想的な公式が、Poincaré の特徴量によるトポロジー的結果と、数え上げ測度による算術的結果を統一するか？
• RQ4 $G = \mathrm{SL}_n$ や $C = \mathbb{P}^1$ のような特別な場合に、この公式を検証できるか？
• RQ5 将来的なグローバルなモチーフ的統合理論において、Tamagawa 数が測度としてのモチーフ的解釈を持つだろうか？

主な発見

• $k = \mathbb{C}$ の場合、予想的な公式に Poincaré の特徴量を適用すると、Hodge 構造の純粋性を介して、$G$ のゲージ群の Poincaré 級数に関する Teleman の結果が再現される。
• $k = \mathbb{F}_q$ の場合、数え上げ測度を適用すると、$C$ の関数体上の $G$ の Tamagawa 数が $|\pi_1(G)|$ に等しいことが得られ、この場合に予想が正当化される。
• 行列的除数構成を用いて、$G = \mathrm{SL}_n$ の場合に直接的に公式を証明し、この場合に予想が成立することを確立する。
• Grothendieck および Harder の $G$- torsor の明示的分類を用いて、$C = \mathbb{P}^1$ の場合に公式を直接証明する。
• 予想的な公式は、トポロジー的および算術的設定において既知の結果に還元され、その妥当性を強く示唆する。
• 本稿では、$\tau(G) = \mathbb{L}^{(1-g)\dim G} \mu(\mathfrak{Bun}_{G,C}) \prod_{i=1}^r Z(C, \mathbb{L}^{-d_i})^{-1}$ というモチーフ的 Tamagawa 数を導入し、将来的なグローバルなモチーフ的統合理論における役割を示唆する。