[論文レビュー] Cobordism of flag bundles

Amalendu Krishna|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、特徴値がゼロの体上のスキーム上の主 $G$-バンドルに関連するフラッグバンドルの有理代数的コボルディズムおよび高次チャウ群の普遍的公式を確立する。最大トーラスとワイル群の構造を活用することで、古典的なチャウ群に関する結果を代数的コボルディズムへ一般化し、フラッグバンドル $E/P$ のコボルディズムが、ベーススキームのコボルディズムと分類空間 $BT$ とのテンソル積に同型であることを示している。これは、ヴィスティリの定理を代数的コボルディズムの普遍的向き付けられたコホモロジー理論へ拡張するものである。

ABSTRACT

Let $G$ be a connected linear algebraic group over a field $k$ of characteristic zero. For a principal $G$-bundle $π: E o X$ over a scheme $X$ of finite type over $k$ and a parabolic subgroup $P$ of $G$, we describe the rational algebraic cobordism and higher Chow groups of the flag bundle $E/P o X$ in terms of the cobordism of $X$ and that of the classifying space of a maximal torus of $G$ contained in $P$. As a consequence, we also obtain the formula for the cobordism and higher Chow groups of the principal bundles over the scheme $X$. If $X$ is smooth, this describes the cobordism ring of these bundles in terms of the cobordism ring of $X$.

研究の動機と目的

• フラッグバンドルのチャウ群の既知の記述を、代数的コボルディズムの普遍的向き付けられたコホモロジー理論へ一般化すること。
• ベーススキーム $X$ のコボルディズムと分類空間 $BT$ を用いて、フラッグバンドル $E/P \to X$ の有理代数的コボルディズムを記述すること。
• ヴィスティリの高次チャウ群に関する同型を代数的コボルディズムの設定へ拡張すること。
• 局所化系列を用いた、ヴィスティリの定理の新しい簡素な証明を提供すること。
• 最大トーラスとワイル群の構造を用いて、スキーム上の任意の主 $G$-バンドルのコボルディズム群を計算すること。

提案手法

• ヴィスティリの高次チャウ群に関する研究の技術を代数的コボルディズムの設定へ適応すること。
• 高次チャウ群の局所化系列を用いて、有理チャウ群の同型を証明すること。
• ベーススキーム $X$ の次元に関する帰納法を用い、開部分集合および有限エタール被覆を用いて、自明なフラッグバンドルの状況へ還元すること。
• ワイル群と対称代数の構造を用いて、自然な同型 $\Omega^*(E/P) \cong \Omega^*(X) \otimes_{\Omega^*(BT)} \Omega^*(G/P)$ を構成すること。
• 代数的コボルディズムの普遍的性質（普遍的向き付けられたボレ＝ムーアホモロジー理論としての性質）を用いて、主要な公式を導出すること。
• 同変的技術とワイル群 $W_P$ の構造を用いて、一般の放物型の場合をボレル部分群の場合へ還元すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フラッグバンドル $E/P \to X$ の代数的コボルディズムは、ベーススキーム $X$ のコボルディズムと分類空間 $BT$ を用いてどのように記述できるか？
• RQ2 ヴィスティリの結果で知られているフラッグバンドルの高次チャウ群とベースとの同型は、代数的コボルディズムの普遍的理論へ拡張可能か？
• RQ3 最大トーラスとワイル群の構造を用いて、スキーム上の主 $G$-バンドルのコボルディズムは計算可能か？
• RQ4 対称代数 $\mathrm{Sym}(\widehat{T})$ 及びその $W$-不変部分代数が、フラッグバンドルのコボルディズムの記述において果たす役割は何か？
• RQ5 ヴィスティリの定理のチャウ群に関する証明を、局所化に基づく簡素な証明に再構成し、代数的コボルディズムへ拡張可能か？

主な発見

• フラッグバンドル $E/P \to X$ の有理代数的コボルディズムは、$\Omega^*(X) \otimes_{\Omega^*(BT)} \Omega^*(G/P)$ に同型であり、チャウ群の結果を一般化している。
• フラッグバンドルの高次チャウ群は $\mathrm{CH}^*(E/B) \cong \mathrm{CH}^*(X) \otimes_{\mathrm{Sym}(\widehat{T})^W} \mathrm{Sym}(\mathrm{Sym}(\widehat{T}))$ を満たし、局所化系列を用いた新しい証明が与えられている。
• 主 $G$-バンドル $E \to X$ のコボルディズムは、$\mathrm{CH}^*(X) \otimes_{S(G)} \mathbb{Q}$ に同型であり、ここで $S(G)$ は $\mathrm{Spec}(k)$ の同変チャウ環である。
• アリュビューズ写像を用いて、連結代数群の状況へ拡張され、$\mathrm{CH}^*(G) \cong \mathrm{CH}^*(A(G))/I\mathrm{CH}^*(A(G))$ が得られる。
• フラッグバンドルの同型は、次元に関する帰納法を用い、開部分集合および有限エタール被覆を用いて、自明なバンドルの場合へ還元することで確立されている。
• 本論文は、フラッグバンドルのコボルディズム群を、ベースのコボルディズムと分類空間 $BT$ のコボルディズムへ還元することで、概念的かつ普遍的なフレームワークを提供している。