[論文レビュー] On the (non)existence of symplectic resolutions for imprimitive symplectic reflection groups

Gwyn Bellamy, Travis Schedler|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、$G$ がシンプレクティックに非可約かつ非可約なシンプレクティック反射群である場合の商特異点 $
\mathbb{C}^{2n}/G$ のシンプレクティック解消を分類し、$G \cong K \wr S_n$ かつ $K < \mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$ または例外的群 $Q_8 \times_{\mathbb{Z}/2} D_8$ の場合にのみ、このような解消が存在することを証明している。4次元未満の次元においては、10次元未満の4つの未解決事例を除き、すべてのケースがカバーされている。この結果により、プロジェクト型シンプレクティック解消をもつシンプレクティックに非可約なシンプレクティック商特異点の分類が完成し、4つの未解決事例を除いて完全である。

ABSTRACT

We study the existence of symplectic resolutions of quotient singularities V/G where V is a symplectic vector space and G acts symplectically. Namely, we classify the symplectically irreducible and imprimitive groups, excluding those of the form $K times S_2$ where $K &lt; \SL_2(\C)$, for which the corresponding quotient singularity admits a projective symplectic resolution. As a consequence, for $\dim V eq 4$, we classify all quotient singularities $V/G$ admitting a projective symplectic resolution which do not decompose as a product of smaller-dimensional quotient singularities, except for at most four explicit singularities, that occur in dimensions at most 10, for whom the question of existence remains open.

研究の動機と目的

• シンプレクティックに非可約かつ非可約なシンプレクティック反射群 $G < \mathrm{Sp}_{2n}(\mathbb{C})$ について、$\mathbb{C}^{2n}/G$ がプロジェクト型シンプレクティック解消をもつ場合をすべて特定すること。
• 4次元でない次元において、シンプレクティック解消の存在問題を、4つの例外的ケースを除いて解決すること。
• 既知の無限族と2つの例外的ケースを超えて、シンプレクティック商特異点にシンプレクティック解消が存在する場合の分類を拡張すること。
• 残りの未解決事例を特定・分離し、その中でシンプレクティック解消の存在が未定義のままとなっているケースを特定すること。

提案手法

• 文献[7]におけるシンプレクティックに非可約かつ非可約なシンプレクティック反射群の分類を用い、$K < \mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$ である $K \wr S_n$ の部分群として扱う。
• 文献[13, Theorem 1.6]に従い、$\mathbb{C}^{2n}/G$ がプロジェクト型シンプレクティック解消をもつならば、シンプレクティック反射 $g \in G$ の $\mathrm{im}(g - \mathrm{id})$ の一般ベクトルの安定化部分群 $H$ について、$\mathbb{C}^{2n-2}/H$ も同様にプロジェクト型シンプレクティック解消をもつという基準を適用する。
• 文献[7, Table III]にリストされた例外的群におけるシンプレクティック反射の安定化部分群 $H$ を分析し、問題を低次元のケースに還元する。
• 4次元におけるシンプレクティック解消の非存在が既知であることを活用する。具体的には、$H = G(\mathsf{C}_4, \mathsf{C}_2, 1)$ または $H = G_3(\mathsf{D}_2, \mathsf{C}_2)$ の場合、$\mathbb{C}^4/H$ は解消をもたない。これにより、多くの群の族を除外できる。
• 安定化部分群 $H$ が解消をもたないならば、元の群 $G$ も解消をもたないという事実を活用し、検査すべきケース数を削減する。
• 複素反射群およびその安定化部分群の分類を用い、文献[2]および[3]の既知の結果を応用して、タイプ $Q$、$S_3$、$T$ については解消が存在しないことを除外する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シンプレクティックに非可約かつ非可約なシンプレクティック反射群 $G < \mathrm{Sp}_{2n}(\mathbb{C})$ に対して、$\mathbb{C}^{2n}/G$ がプロジェクト型シンプレクティック解消をもつのはいつか？
• RQ2 6次元、8次元、8次元、10次元の4つの残りの例外的群（タイプ $R$、$S_1$、$S_2$、$U$）は、プロジェクト型シンプレクティック解消をもつか？
• RQ3 $K < \mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$ に対して、4次元における $K \rtimes S_2$ の群 $G$ は、主定理から除外されているが、プロジェクト型シンプレクティック解消をもつか？
• RQ4 $\mathrm{Sp}_4(\mathbb{C})$ 内のシンプレクティックに可約で複素反射的非可約な群に対して、$\mathbb{C}^4/G$ はシンプレクティック解消をもつか？
• RQ5 文献[7, Table III]にリストされた有限個の可約な例外的シンプレクティック反射群は、シンプレクティック解消をもつか？

主な発見

• プロジェクト型シンプレクティック解消をもつ唯一のシンプレクティックに非可約かつ非可約なシンプレクティック反射群 $G < \mathrm{Sp}_{2n}(\mathbb{C})$ は、$G \cong K \wr S_n$ かつ $K < \mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$ または $G \cong Q_8 \times_{\mathbb{Z}/2} D_8$ である。上記の除外条件のもとで成立する。
• $\dim V \neq 4$ の場合、プロジェクト型シンプレクティック解消をもつすべてのシンプレクティックに非可約な商特異点 $V/G$ は、ある有限部分群 $K < \mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$ に対して $\mathbb{C}^{2n}/(K \wr S_n)$ に同型であり、10次元未満の4つの未解決事例を除いてすべてカバーされている。
• 未解決の4つの事例は、それぞれ6次元、8次元、8次元、10次元のタイプ $R$、$S_1$、$S_2$、$U$ であり、既知の族を超えるシンプレクティック解消の唯一の候補である。
• 安定化部分群の分析により、タイプ $Q$、$S_3$、$T$ については解消が存在しないことが除外され、それらの安定化部分群が4次元で既知の非解消可能な特異点を導くからである。
• $\mathbb{C}^4/G$ に対して $G = K \rtimes S_2$ の場合のシンプレクティック解消の存在は未解決であり、主要な未解決事例の一つである。
• 本論文では、[7, Table III]にリストされた10個以下の群を除き、残りのすべてのシンプレクティック反射群について、解消の存在を確認する必要がある。これは、安定化群の議論により、他のすべての群が除外されたためである。