[論文レビュー] On the optimality of Periodic barrier strategies for a spectrally positive Lévy process

José Luis Pérez, Kazutoshi Yamazaki|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2016

Probability and Risk Models参考文献 23被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、ポisson過程で観測される配当決定のもとで、スペクトル的に正の Lévy 確率過程における配当配分の周期的バリア戦略の最適性を確立する。スケール関数を用いて、破産ペナルティあり・なしの両モデルにおける最適バリアと価値関数を導出し、価値関数が有界変動の場合C²、無限変動の場合C³であることを証明。滑らかく貼り合わせる条件とマルティンゲール技法を用いて最適性を検証する。

ABSTRACT

We study the optimal dividend problem in the dual model where dividend payments can only be made at the jump times of an independent Poisson process. In this context, Avanzi et al. [5] solved the case with i.i.d. hyperexponential jumps; they showed the optimality of a (periodic) barrier strategy where dividends are paid at dividend-decision times if and only if the surplus is above some level. In this paper, we generalize the results for a general spectrally positive Levy process with additional terminal payoff/penalty at ruin, and also solve the case with classical bail-outs so that the surplus is restricted to be nonnegative. The optimal strategies as well as the value functions are concisely written in terms of the scale function. Numerical results are also given.

研究の動機と目的

• 2016年のAvanziらの結果（超指数的ジャンプに限定）を、破産時の終端ペイオフ／ペナルティを伴う一般のスペクトル的に正の Lévy 確率過程へ一般化すること。
• 破産を防ぐための古典的バーゲインジェクション（資本注入）を含む状況への分析の拡張。
• 両モデルについて、スケール関数を用いて最適バリアと価値関数を閉形式で導出すること。
• 滑らかく貼り合わせる条件を用いた「推測と検証」アプローチにより、周期的バリア戦略の最適性を検証すること。
• 解析的に取り扱えるスケール関数を有するPhase-type Lévy過程を用いた数値実験により、解析的結果の妥当性を検証し、配当頻度の増加に伴う収束を分析すること。

提案手法

• スケール関数を用いて、周期的バリア戦略下での配当の期待ネット現在価値（NPV）を表現する。
• スペクトル的に正の Lévy 確率過程のフラクチュエーション理論と、Avram ら（2016）が得たポisson観測プロセスに関する結果を適応する。
• 「推測と検証」法の適用：まず滑らかく貼り合わせる条件から最適バリア $ b^* $ を推測し、その後に最適性を検証する。
• スケール関数を用いてマルティンゲールを構成し、検証ステップを完了する。
• 半マルティンゲール的余剰プロセス（ジャンプ成分と拡散成分を含む）に対して、Meyer-Itôの公式と Itôの補題を適用する。
• Phase-type Lévy過程を用いた数値実験により、解析的結果の妥当性を検証し、配当頻度の増加に伴う収束を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 配当がポisson到着時のみ支払われる一般のスペクトル的に正の Lévy 確率過程において、周期的バリア戦略が最適であるか？
• RQ2 破産時に終端ペイオフまたはペナルティが含まれる場合、最適バリアと価値関数にどのような影響が生じるか？
• RQ3 古典的バーゲインジェクション（破産防止のための資本注入）が存在する状況でも、スケール関数を用いて最適戦略を特徴づけられるか？
• RQ4 Lévy 確率過程のパスの変動性に応じて、価値関数が示す正則性特性（例：C² または C³）は何か？
• RQ5 Lévy 確率過程が無限大に発散する場合、最適バリアはどのように振る舞い、また「すべてを手に入れて逃走する戦略」（$ b^* = 0 $）が最適となる条件は何か？

主な発見

• 最適バリア $ b^* $ は、有界変動の場合は価値関数がC²、無限変動の場合はC³となるように選ばれる。
• 周期的バリア戦略下での価値関数が、ハミルトニアン・ジャコビ・ベルマン方程式の解であることが示され、マルティンゲール技法を用いて最適性が検証された。
• 「すべてを手に入れて逃走する戦略」（すなわち、$ b^* = 0 $）は、Lévy 確率過程が無限大に発散する場合でも最適となる可能性があり、これは古典的モデルでは観察されない現象である。
• バーゲインジェクションモデルでは、最適バリア $ b^lat $ は同様の方法で導出され、価値関数は第一のモデルと類似した形を取るが、異なるバリアレベルをとる。
• 数値結果により、解析的結果が妥当であることが確認され、配当決定頻度の増加に伴い最適戦略の収束が観察された。
• 従来の超指数的ジャンプに関する結果を一般化し、スケール関数の適用範囲を二重モデルにおける周期的配当制御にまで拡張した。