[論文レビュー] On the orthogonal rank of Cayley graphs and impossibility of quantum round elimination

Jop Briët, Jeroen Zuiddam|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2016

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 11被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、ハミング距離が n/2 以上の頂点間を結ぶ超立方体 {0,1}^n 上のカイリー群グラフの直交ランクに対して、指数関数的下界を確立する。フーリエ解析とローヴァス・シータ関数を用いて、対称的直交埋め込みが指数的でない次元を達成できないことを証明し、正確な量子通信複雑性における量子ラウンド削減の不可能性に関する予想を解決する。

ABSTRACT

After Bob sends Alice a bit, she responds with a lengthy reply. At the cost of a factor of two in the total communication, Alice could just as well have given the two possible replies without listening and have Bob select which applies to him. Motivated by a conjecture stating that this form of "round elimination" is impossible in exact quantum communication complexity, we study the orthogonal rank and a symmetric variant thereof for a certain family of Cayley graphs. The orthogonal rank of a graph is the smallest number $d$ for which one can label each vertex with a nonzero $d$-dimensional complex vector such that adjacent vertices receive orthogonal vectors. We show an exp$(n)$ lower bound on the orthogonal rank of the graph on $\{0,1\}^n$ in which two strings are adjacent if they have Hamming distance at least $n/2$. In combination with previous work, this implies an affirmative answer to the above conjecture.

研究の動機と目的

• 正確な量子通信複雑性におけるラウンド削減が不可能であるという予想を解決すること。
• ハミング距離 ≥ n/2 の頂点間を結ぶ超立方体 {0,1}^n から導かれるカイリー群グラフの直交ランクおよび対称的直交ランクを調査すること。
• このグラフの直交埋め込みに必要な最小次元に対する下界を確立し、予想を解決すること。
• スペクトル的および調和解析的手法を用いて、グラフの構造とその埋め込み制約を分析すること。

提案手法

• 群 (ℤ₂)^n 上のカイリー群グラフ H₂ⁿ(d) を定義し、少なくとも d 個の座標で異なる頂点間に辺を張る。
• 双対性を用いて直交ランクの下界を得るために、補グラフと双対なローヴァス・シータ関数を緩和として用いる。
• ブール立方体上のフーリエ解析を適用し、非負のフーリエ係数と高重量集合へのゼロ制約を用いて、シータ関数を再表現する。
• コーシー＝ヴァンダーモンド恒等式と二項係数の評価を用いて、候補関数の減衰を制御する。
• ボッハナーの定理を用いて、行列に関する最適化問題を、差にのみ依存する関数への還元する。
• 双対関数 g(0) の最大値に対して上界を導出し、ξ(G) ≥ 2ⁿ / ϑ(G) を用いて直交ランクの下界を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カイリー群グラフ H₂ⁿ(n/2) の直交ランクは、n に関して指数関数的関数で下から抑えられるか？
• RQ2 このグラフは、指数的でない次元に、対称的直交埋め込みが可能か？
• RQ3 直交ランクに対する指数的下界は、正確な量子通信複雑性における量子ラウンド削減の不可能性を示唆するか？
• RQ4 H₂ⁿ(n/2) の補グラフに対するローヴァス・シータ関数の漸近的挙動は何か？
• RQ5 フーリエ解析的手法を用いて、このようなカイリー群グラフの最小埋め込み次元に対するタイトな下界を導出できるか？

主な発見

• グラフ H₂ⁿ(n/2) の直交ランク ξ(G) は、ある ε > 0 と定数 c に対して、exp(εn − c) 以上であることが示され、指数的下界が確立された。
• 対称的直交ランク ξ_sym(G) に対しても、同様に exp(εn − c) 以上であることが示され、対称的埋め込みが指数的でない次元を達成できないことが判明した。
• グラフ H₂ⁿ(n/2) のローヴァス・シータ関数 ϑ(G) は、2⁻(εn−c) 以下であることが示され、双対性より ϑ(Ḡ) ≥ 2^(εn−c) の下界が得られた。
• シータ関数緩和における双対関数 g(0) の最大値は、2⁻(εn−c) 以下に上界が与えられ、二項係数の推定とコーシー＝ヴァンダーモンド恒等式を用いて導出された。
• 解析により、指数的でない次元における対称的直交埋め込みが存在しないことが確認され、量子ラウンド削減に関する予想が解決された。
• この結果は、正確な量子通信モデルにおいて、通信ラウンドを1つ削減することは、定数倍の通信増加では補填できないことを示し、量子ラウンド削減の不可能性を確認した。