[論文レビュー] On the other side of the bialgebra of chord diagrams

Victor Tourtchine|ArXiv.org|Nov 19, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 12被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{R}^d$ ($d \geq 3$) における長い紐結びの空間の (co)homology を計算するヴァシリエフスペクトル系列の上端線が、すべて自明な (co)homology 群であることを確立する。特徴的な特異点の分岐の像を生成する写像の層の複体の (co)homology は、二重ループ空間 $\Omega^2 S^{d-1}$ の (co)homology の部分群として同定され、ポisson またはゲルステンハーバー代数のホッホシュャイルド複体に作用する、新たなホモロジー的作用素が導入される。これらの作用素は、ダイヤー＝ラッシュォフ作用素として実現され、スペクトル系列の上端線に現れるサイクルを記述する。

ABSTRACT

In the paper we describe complexes whose homologies are naturally isomorphic to the first term of the Vassiliev spectral sequence computing (co)homology of the spaces of long knots in R^d, d>=3. The first term of the Vassiliev spectral sequence is concentrated in some angle of the second quadrant. In homological case the lower line is the bialgebra of chord diagrams (or its superanalog if d is even). We prove that the groups of the upper line are all trivial. In the same bigradings we compute the homology groups of the complex spanned only by strata of immersions in the discriminant (maps having only self-intersections). We interprete the obtained groups as subgroups of the (co)homology groups of the double loop space of a (d-1)-dimensional sphere. In homological case the last complex is the normalized Hochschild complex of the Poisson or Gerstenhaber (depending on parity of d) algebras operad. The upper line bigradings are spanned by the operad of Lie algebras. To describe the cycles in these bigradings we introduce new homological operations on Hochschild complexes. It will be proven elsewhere that these operations are related to Dyer-Lashof homology operations defined for double loop spaces.

研究の動機と目的

• 長さ $d \geq 3$ の $\mathbb{R}^d$ における長い紐結びの空間のヴァシリエフスペクトル系列の第1項の (co)homology 群を計算すること。
• Lie 代数のオペラッドに対応する大緯度の位置にあるスペクトル系列の上端線の構造を特定すること。
• 特異点の写像の層の複体の (co)homology を、$\Omega^2 S^{d-1}$ の (co)homology の部分群として同定すること。
• スペクトル系列の上端線に現れるサイクルを実現するホッホシュャイルド複体上の新たなホモロジー的作用素を導入し、その性質を同定すること。
• これらの作用素が、小さな正方形のオペラッドの特異的チェイン複体の作用によって誘導され、ダイヤー＝ラッシュォフ作用素として同定されることを確立すること。

提案手法

• 本稿は、$\mathbb{R}^d$ ($d \geq 3$) における長い紐結びの空間のヴァシリエフスペクトル系列の第1項の (co)homology と同型な複体を構成する。
• 長い紐結びの空間の有限次元近似を用いて、特異点の一点コンパクト化の (co)homology を厳密に定義する。
• スペクトル系列の上端線は、$d$ の偶奇に応じて、ポisson またはゲルステンハーバー代数のオペラッドの正規化ホッホシュャイルド複体から生じる (co)homology として解釈される。
• 繰り返しのゲルステンハーバー括弧と $p$ を法とする組合せ論を用いて、ホッホシュャイルド複体上に新しいホモロジー的作用素 $\xi_1$ と $\zeta_1$ を定義する。
• これらの作用素がダイヤー＝ラッシュォフ公理を満たし、小正方形オペラッドの作用によって誘導されることを示す。
• 結果を整数係数および $p$ を法とする係数に拡張し、$\Omega^2 S^{d-1}$ の (co)homology バイアリューブラの明示的公式を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 長さ $d \geq 3$ の $\mathbb{R}^d$ における長い紐結びのヴァシリエフスペクトル系列の上端線における (co)homology 群は自明か？
• RQ2 特異点の写像の層の複体の (co)homology は、$\Omega^2 S^{d-1}$ の (co)homology の部分群として同定可能か？
• RQ3 ホッホシュャイルド複体上のどのホモロジー的作用素が、ヴァシリエフスペクトル系列の上端線に現れるサイクルを実現するか？
• RQ4 これらの作用素は、小さな正方形オペラッドによって誘導されるダイヤー＝ラッシュォフ作用素と同値か？
• RQ5 $\mathbb{Q}$、$\mathbb{Z}_2$、および奇素数 $p$ に対して、$\Omega^2 S^{d-1}$ の (co)homology バイアリューブラの構造は何か？

主な発見

• ヴァシリエフスペクトル系列の上端線における (co)homology 群は、すべての $d \geq 3$ に対して自明であり、第1項のスペクトル系列が下端線に集中していることを意味する。
• 特異点の写像の層の複体の (co)homology は、$\Omega^2 S^{d-1}$ の (co)homology の部分群と同型であり、$d$ の偶奇に応じて構造が異なる。
• ホッホシュャイルド複体上の新たなホモロジー的作用素 $\xi_1$ と $\zeta_1$ は、ダイヤー＝ラッシュォフ公理を満たし、特異的チェイン複体の小さな正方形オペラッドの作用によって誘導されることが示された。
• $\mathbb{Q}$ 上では、$H_*(\Omega^2 S^{d-1}; \mathbb{Q})$ は、$d \geq 4$ の偶数 $d$ に対しては、1つの生成子 $\varphi$ を持つ外積バイアリューブラであり、$d \geq 5$ の奇数 $d$ に対しては、2つの生成子を持つ次数付き多項式バイアリューブラである。
• $\mathbb{Z}_2$ 上では、$H_*(\Omega^2 S^{d-1}; \mathbb{Z}_2)$ は、次数 $2^k(d-2)-1$ に生成子 $\xi_1^k \varphi$ を持つ次数付き多項式バイアリューブラである。
• $\mathbb{Z}_p$（奇素数 $p$）上では、ホモロジー・バイアリューブラは、次数付き多項式バイアリューブラであり、外積生成子 $\xi_1^k \varphi$ と多項式生成子 $\zeta_1 \xi_1^k \varphi = \beta \xi_1^{k+1} \varphi$ を持ち、指定された次数に依存して、$d$ の偶奇に応じて構造が異なる。