[論文レビュー] On the probabilistic well-posedness of the nonlinear Schrödinger equations with non-algebraic nonlinearities

Tadahiro Oh, Mamoru Okamoto+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2017

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 42被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、エネルギー臨界な非線形シュレーディンガー方程式（NLS）に対して、エネルギー空間より低い初期データのウィーナー確率化を用いて、非代数的非線形性を有する $\dd$（$d=5,6$）におけるほとんど確実な局所的および大域的well-posednessを確立する。焦点型でゲージ不変でない設定において、確率論的手法を用いて有限時刻 blowup 解を構成し、決定論的臨界正則性を超えて well-posedness を拡張する。

ABSTRACT

We consider the Cauchy problem for the nonlinear Schrödinger equations (NLS) with non-algebraic nonlinearities on the Euclidean space. In particular, we study the energy-critical NLS on $\mathbb{R}^d$, $d=5,6$, and energy-critical NLS without gauge invariance and prove that they are almost surely locally well-posed with respect to randomized initial data below the energy space. We also study the long time behavior of solutions to these equations: (i) we prove almost sure global well-posedness of the (standard) energy-critical NLS on $\mathbb{R}^d$, $d = 5, 6$, in the defocusing case, and (ii) we present a probabilistic construction of finite time blowup solutions to the energy-critical NLS without gauge invariance below the energy space.

研究の動機と目的

• 決定論的観点において $\dot{H}^1$-臨界正則性 $s=1$ より低い場合のエネルギー臨界 NLS の ill-posedness を取り扱う。
• 確率論的手法を用いて、エネルギー空間より低い初期データに対しても well-posedness 結果を拡張する。
• 非自明な非線形性を有する $\mathbb{R}^d$ 上のエネルギー臨界 NLS（$d=5,6$）に対して、確率化された初期データを用いたほとんど確実な局所的および大域的 well-posedness を確立する。
• ゲージ不変でない焦点型設定において、エネルギー空間より低い初期データに対して確率論的手法を用いて有限時刻 blowup 解を構成する。
• 非コンパクトなユークリッド空間におけるウィーナー確率化を用いた確率的 well-posedness の枠組みを構築する。

提案手法

• 周波数空間 $\mathbb{R}^d_\xi = \bigcup_{n\in\mathbb{Z}^d} (n + (-1/2,1/2]^d)$ のウィーナー分解を用いて初期データを確率化し、独立な複素ガウス係数を用いる。
• smoothな partition of unity $\psi$ を用いて、$\phi \in H^s$（$s<1$）に対して、ウィーナー確率化 $\phi^\omega = \sum_{n\in\mathbb{Z}^d} g_n(\omega) \psi(D - n)\phi$ を定義する。
• 適応関数空間 $X^s_T$ および $Y^s_T$ において確率的 Strichartz 不等式および非線形評価を適用し、解写像を制御する。
• 確率的枠組みにおける収縮写像原理を用いて、焦点型および非ゲージ不変 NLS に対するほとんど確実な局所的 well-posedness を証明する。
• 焦点型の場合にはエネルギー評価と摂動論法を用いて長時間存在を確立する。
• 確率的 blowup 解を構成するため、確率化された初期データ下での解の $L^2$-ノルムの増大を解析し、blowup の代替条件と事前評価を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エネルギー臨界 NLS に対して、非代数的非線形性を有する場合に、$\dot{H}^1$-臨界正則性 $s=1$ より低い場合に、ほとんど確実な局所的 well-posedness を確立できるか？
• RQ2 焦点型エネルギー臨界 NLS に対して、$\mathbb{R}^d$（$d=5,6$）上、初期データが $H^s$（$s<1$）にある場合に、確率化された初期データを用いたほとんど確実な大域的 well-posedness は可能か？
• RQ3 ゲージ不変でないエネルギー臨界 NLS に対して、エネルギー空間より低い初期データに対して、確率論的に有限時刻 blowup 解を構成できるか？
• RQ4 ウィーナー確率化は、フーリエ級数確率化が連続スペクトルのため失敗する非コンパクトなユークリッド空間で、どのように well-posedness 結果を可能にするか？
• RQ5 blowup 境界において、最大存在時間は確率化された初期データの大きさにどのように依存するか？

主な発見

• エネルギー臨界 NLS に対して、非代数的非線形性を有する場合に、$\mathbb{R}^d$（$d=5,6$）上、初期データが $H^s$（$s<1$）にある場合に、ウィーナー確率化を用いてほとんど確実な局所的 well-posedness が確立された。
• 焦点型エネルギー臨界 NLS に対して、$\mathbb{R}^d$（$d=5,6$）上、$H^s$（$s<1$）にある確率化初期データを用いて、エネルギー評価と長時間存在の議論により、ほとんど確実な大域的 well-posedness が証明された。
• ゲージ不変でないエネルギー臨界 NLS に対して、エネルギー空間より低い初期データに対して、確率論的構成により有限時刻 blowup 解が得られた。最大存在時間は、$\alpha$ が大きい場合に $T^*(\alpha) \leq C'(R) \alpha^{4/(-d+2k+2)}$ を満たす。
• blowup 時間の評価は、事前評価と blowup の代替条件から導出され、大きな確率化初期データが正の確率で有限時刻 blowup を引き起こすことを示した。
• ウィーナー確率化フレームワークにより、古典的なフーリエ級数確率化が連続スペクトルのため失敗するユークリッド空間 $\mathbb{R}^d$ に対しても well-posedness 結果の拡張が可能となった。
• 結果は確率化の選択に強く依存せず、$\Omega_{R,\varepsilon}$ の形をした確率集合上で一様に成り立つため、ほとんど確実な収束性と安定性が保証された。