[論文レビュー] On the Prym map of Galois covering

Abolfazl Mohajer|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、アーベルおよびメタアーベルなガロア群をもつ代数的曲線のガロア被覆に対するプリム写像を調査し、その微分が単射となる条件を確立する。構成データとコホロロジー的技法を用いて、特定のラインバンドル次数が臨界閾値を超える場合に、アーベル被覆における微分の単射性を証明し、全般生成性およびセクション上の乗法写像の上への性質を用いて、これをメタアーベル被覆へと拡張する。

ABSTRACT

In this paper we consider the Prym variety $P(\widetilde{C}/C)$ associated to a Galois coverings of curves $f:\widetilde{C} o C$ branched at $r$ points. We discuss some properties and equivalent definitions and then consider the Prym map $\mathcal{P}=\mathcal{P}(G,g,r):R(G,g,r) o A_{p,δ}$ with $δ$ the type of the polarization. For Galois coverings whose Galois group is abelian and metabelian (non-abelian) we show that the differential of this map at certain points is injective. We also consider the Abel-Prym map $u:\widetilde{C} o P(\widetilde{C}/C)$ and prove some results for its injectivity. In particular we show that in contrast to the classical and cyclic case, the behavior of this map here is more complicated. The theories of abelian and metabelian Galois coverings play a substantial role in our analysis and have been used extensively throughout the paper.

研究の動機と目的

• アーベルおよびメタアーベルなガロア群をもつ曲線のガロア被覆に対するプリム写像を分析すること。
• モジュライ空間内の特定の点において、プリム写像の微分が単射となる条件を同定すること。
• 巡回被覆から非巡回ガロア被覆へのアーベル＝プリム写像に関する結果を一般化すること。
• アーベルおよびメタアーベル被覆の理論を用いて、モジュライ空間 R(G,g,r) を本質的に記述すること。
• 乗法写像の上への性質を保証するラインバンドルおよびその全セクションに関する十分条件を確立し、それらが微分の単射性に不可欠であることを示すこと。

提案手法

• アーベルガロア被覆のモジュライ空間 R(G,g,r) をパラメトライズするために、簡約化された構成データを用いる。
• 乗法写像 μ: H⁰(ω_C ⊗ L_i^{⌊ni/2⌋}) ⊗ H⁰(ω_C ⊗ L_i^{ni−⌊ni/2⌋}) → H⁰(ω_C²(D_i)) を通じてコホロロジー的基準を適用し、プリム写像微分の単射性を評価する。
• メタアーベル被覆においては、ベクトルバンドル U_χ = q_*F_χ の理論を用いて、ラインバンドルを超える分析を一般化する。
• ラインバンドルが非常にアンビエントまたは十分に高い次数で全般生成される場合に、乗法写像の上への性質を保証する [3, Theorem 1] を用いる。
• h⁰(ω_C² ⊗ L'² ⊗ U_χ ⊗ U_χ⁻¹) ≤ t(h⁰(ω_C ⊗ L' ⊗ U_χ) + h⁰(ω_C ⊗ L' ⊗ U_χ⁻¹)) − t² という条件を用いて、メタアーベルの場合の上への性質を保証する。
• ベクトルバンドルおよびラインバンドルの文脈において、全般生成性および乗法写像の上への性質に関する [4] および [1] の結果を応用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アーベルガロア被覆において、プリム写像の微分が単射となる条件は何か？
• RQ2 非巡回ガロア被覆におけるアーベル＝プリム写像の振る舞いは、古典的な巡回ケースとどのように異なるか？
• RQ3 構成データにどのような条件が課されると、プリム写像微分に用いられる乗法写像の上への性質が保証されるか？
• RQ4 アーベル被覆における微分の単射性は、メタアーベルガロア被覆へと拡張可能か？
• RQ5 ラインバンドルの全セクションおよび次数は、プリム写像の単射性を決定づける上で果たす役割は何か？

主な発見

• アーベル被覆では、n_i が偶数のとき d_i ≥ 6、n_i が奇数のとき d_i ≥ 7 ならば、プリム写像の微分 dP は単射である。
• ある特徴指標 χ に対して deg(L_χ) ≥ 3 かつ deg(L_χ⁻¹) ≥ 3 ならば、dP は単射である。
• L_χ および L_χ⁻¹ が全般生成され、かつ deg(L_χ) + deg(L_χ⁻¹) ≥ 5 ならば、微分 dP は依然として単射である。
• メタアーベルの場合、ω_C ⊗ L' が全般生成され、U_χ, U_χ⁻¹ が全般生成され、かつ h⁰(ω_C² ⊗ L'² ⊗ U_χ ⊗ U_χ⁻¹) ≤ t(h⁰(ω_C ⊗ L' ⊗ U_χ) + h⁰(ω_C ⊗ L' ⊗ U_χ⁻¹)) − t² が成り立つならば、dP は単射である。
• dP の単射性は、乗法写像の全セクション上の上への性質を通じて確立され、上記の次数および全般生成条件によって保証される。
• 本稿では、曲線が g²¹₂ₕ である非巡回ガロア被覆において、アーベル＝プリム写像の単射性が成立しない反例を提示しており、提示された条件の必要性を示している。