[論文レビュー] On the push&pull protocol for rumour spreading

Hüseyin Acan, Andrea Collevecchio+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2014

Optimization and Search Problems参考文献 29被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、一般の無向グラフにおけるラムダス拡散の非同期プッシュ＆プルプロトコルを分析し、平均および保証された拡散時間がそれぞれO(n log n)およびΩ(log n)であることを証明しており、定数要因を除いてタイトな境界を示している。同期版と非同期版の間の解析的関係を確立し、非同期拡散時間が同期版のO(log n)要因の範囲内にあることを示しており、非同期時間は対数的である一方で同期時間は多項式的に大きな例も提示している。

ABSTRACT

The asynchronous push&pull protocol, a randomized distributed algorithm for spreading a rumour in a graph $G$, works as follows. Independent Poisson clocks of rate 1 are associated with the vertices of $G$. Initially, one vertex of $G$ knows the rumour. Whenever the clock of a vertex $x$ rings, it calls a random neighbour $y$: if $x$ knows the rumour and $y$ does not, then $x$ tells $y$ the rumour (a push operation), and if $x$ does not know the rumour and $y$ knows it, $y$ tells $x$ the rumour (a pull operation). The average spread time of $G$ is the expected time it takes for all vertices to know the rumour, and the guaranteed spread time of $G$ is the smallest time $t$ such that with probability at least $1-1/n$, after time $t$ all vertices know the rumour. The synchronous variant of this protocol, in which each clock rings precisely at times $1,2,\dots$, has been studied extensively. We prove the following results for any $n$-vertex graph: In either version, the average spread time is at most linear even if only the pull operation is used, and the guaranteed spread time is within a logarithmic factor of the average spread time, so it is $O(n\log n)$. In the asynchronous version, both the average and guaranteed spread times are $\Omega(\log n)$. We give examples of graphs illustrating that these bounds are best possible up to constant factors. We also prove theoretical relationships between the guaranteed spread times in the two versions. Firstly, in all graphs the guaranteed spread time in the asynchronous version is within an $O(\log n)$ factor of that in the synchronous version, and this is tight. Next, we find examples of graphs whose asynchronous spread times are logarithmic, but the synchronous versions are polynomially large. Finally, we show for any graph that the ratio of the synchronous spread time to the asynchronous spread time is $O(n^{2/3})$.

研究の動機と目的

• 一般の無向グラフにおける非同期プッシュ＆プルプロトコルの平均および保証された拡散時間を分析すること。
• 拡散時間のタイトな上界および下界を確立し、それらがそれぞれΘ(log n)およびO(n log n)であることを示すこと。
• プロトコルの同期版と非同期版の間の拡散時間の比較を行うこと。
• 非同期性能が同期性能よりも顕著に優れるグラフ族を特定すること。
• 同期版と非同期版のラムダス拡散時間の間の最初の解析的関係を提供すること。

提案手法

• 各頂点がレート1の独立したポアソン時計を有する指数時計モデルを用い、時計が鳴るときにプッシュまたはプル操作を発火させる。
• 通信のブロック列として拡散プロセスをモデル化し、ブロックサイズをS1, S2, ...とし、2N個の頂点をカバーするための最小ブロック数Nbを定義する。
• 同期プロトコルを確率的に支配するための「ラジオ状況」カップリングを導入し、ブロックベースの解析による比較を可能にする。
• チェルノフの不等式を適用して、ブロックサイズの合計が高確率で8gsta(G)nを超えることを示し、Nbの境界を得る。
• 条件付き確率と繰り返し解析を用いて、ブロックサイズが特定の値を超える確率を抑え、ラムダス伝搬における十分な進行を保証する。
• 特殊頂点での二次的なブロック分割ルールを導入し、解析における誤解を招く依存関係を回避する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のn頂点グラフにおける非同期プッシュ＆プルプロトコルの平均および保証された拡散時間の漸近的挙動は何か？
• RQ2 非同期版と同期版の拡散時間は、オーダーの大きさにおいてどのように比較できるか？
• RQ3 非同期プロトコルが対数的拡散時間となるが、同期プロトコルが多項式的拡散時間となるようなグラフは存在するか？
• RQ4 同期拡散時間と非同期拡散時間の比は有界にできるか？もし可能であれば、最もタイトな境界は何か？
• RQ5 グラフのコンダクタンス／頂点拡張性と、非同期モデルにおける結果の拡散時間との関係は何か？

主な発見

• 非同期プッシュ＆プルプロトコルにおける平均拡散時間は、プル操作のみを用いてもnに比例する。
• 両方のバージョンにおける保証された拡散時間はO(n log n)であり、これは定数要因を除いてタイトである。
• 非同期拡散時間はΩ(log n)であり、特定のグラフ族に対してこの下界はタイトである。
• 非同期拡散時間は同期版のO(log n)要因の範囲内にあり、この要因もタイトである。
• 非同期拡散時間がΘ(log n)であるが、同期拡散時間がc > 0の定数cについてΘ(n^c)であるようなグラフが存在し、顕著な性能差を示している。
• 任意のグラフについて、同期拡散時間と非同期拡散時間の比はO(n^{2/3})であることが示され、それらの乖離に対する普遍的な上界が確立された。