[論文レビュー] On the rate of convergence of strong Euler approximation for SDEs driven by Levy processes

R. Mikulevíčius, Fanhui Xu|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、 Hölder連続なドリフトおよびリプシッツ連続な拡散係数をもつ α-安定な Lévy プロセスで駆動される確率的微分方程式（SDE）の強オイラー近似の収束速度を確立する。伊藤＝タナカのテクニックと確率積分のモーメント推定を用いて、$ p < \beta $ の場合に $ L_p $-収束速度 $ n^{-p\beta/\alpha} $ を証明し、非退化でガウスでない Lévyノイズへの先行研究を拡張する。

ABSTRACT

SDE driven by an $α$-stable process, $α\in \lbrack 1,2),$ with Lipshitz continuous coefficient and $β$-Hölder drift is considered. The existence and uniqueness of a strong solution is proved when $β&gt;1-α/2$ by showing that it is $L_{p}$-limit of Euler approximations. The $L_{p}$-error (rate of convergence) is obtained for a nondegenerate truncated and nontruncated driving process. The rate in the case of Lipshitz continuous coefficients is derived as well.

研究の動機と目的

• 非退化でリプシッツ連続な拡散係数および $ \beta $-Hölder連続なドリフトをもつ SDE に対して、強オイラー近似の収束速度を確立すること。
• ドリフトと拡散係数の最小限の正則性仮定のもとで、強解の存在とパスワイズ一意性を、$ L_p $-極限としてのオイラー近似により証明すること。
• $ \beta < \beta $ で、特に $ \beta > 1 - \alpha/2 $ の場合に、$ \beta $ 階のモーメントをもたない非ガウス的 Lévyノイズへの既存の収束結果を拡張すること。
• 切り捨てられたおよび切り捨てられていない Lévy プロセスの両方について $ L_p $-誤差バウンドを導出し、[9] の切り捨てられたケースにおける先行結果を改善すること。

提案手法

• Hölder連続なドリフト $ b(x) $ を、Hölder空間における後向きコルモゴロフ方程式の解を用いて、リプシッツ的対象に表現するための伊藤＝タナカのテクニックを適用する。
• Poisson確率測度に関する確率積分のモーメント推定とクニタの不等式を用いて、オイラー近似誤差の $ L_p $-ノルムを制御する。
• ジャンプ測度の均一な制御を保証するため、Lévy強度 $ \rho(y) $ に正則性条件を課す。特に、単位球面上での 0-斉次性およびHölder連続性を仮定する。
• 小さな区間における局所的モーメント推定を、補題11による局所からグローバルへの議論により、$[0,1]$ 上の全区間への境界に拡張する。
• SDEの摂動に対する安定性を用いて、真の解とオイラー近似との差を $ L_p $ でバウンドすることで収束速度を導出する。
• 切り捨てられていない Lévy プロセス $ L_t $（$ p < \alpha $）と切り捨てられたバージョン $ L_t^0 $（すべてのモーメントが存在）の両方を検討し、それぞれ異なる収束速度を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 α-安定な Lévy プロセスで駆動される SDE に対して、$ \beta $-Hölder連続ドリフトおよびリプシッツ拡散係数をもつオイラースキームの $ L_p $-収束速度は何か？
• RQ2 収束速度は、安定性指数 $ \alpha \in [1,2) $、Hölder指数 $ \beta $、およびモーメントの次数 $ p $ にどのように依存するか？
• RQ3 伊藤＝タナカのテクニックを非ガウス的 Lévy ノイズをもつ SDE に拡張することで、強解の存在と収束速度の確立は可能か？
• RQ4 切り捨てられたおよび切り捨てられていない Lévy プロセスの間で収束速度はどのように異なるか。特に、後者は $ \alpha $-モーメントをもたない場合にどうなるか？
• RQ5 オイラー近似誤差における均一な制御を保証するための Lévy 強度 $ \rho(y) $ に必要な正則性条件は何か？

主な発見

• 切り捨てられていない Lévy プロセス $ L_t $ に対しては、$ \beta > 1 - \alpha/2 $ の条件下で、$ p < \alpha $ のとき $ \mathbf{E}[\sup_t |X_t^n - X_t|^p] \leq C n^{-p\beta/\alpha} $ が成り立つ。
• 切り捨てられた Lévy プロセス $ L_t^0 $ に対しては、$ 2 \leq p < 2/\beta $ のとき収束速度が $ C n^{-p\beta/2} $ に改善され、$ p \geq 2/\beta $ のとき $ C n^{-1} $ に達する。これは[9]の結果を一致・拡張する。
• 強解は、$ p < \alpha $、$ \beta > 1 - \alpha/2 $、$ G $ が一様に非退化かつリプシッツ連続、$ b $ が $ \beta $-Hölder連続である限り、$ L_p $-意味で存在し、一意である。
• オイラー近似 $ X_t^n $ および $ Y_t^n $ は $ L_p $ でコーシー列であり、その極限はそれぞれ SDE (1.1) および (1.4) を満たす。
• 収束速度 $ n^{-p\beta/\alpha} $ は、ジャンプの活発さ（$ \alpha $ で制御）とドリフトの滑らかさ（$ \beta $ で制御）の相互作用を反映しており、重い尾部（$ \alpha \to 1^+ $）では収束が遅くなる。
• 本稿は、切り捨てられた設定ではすべてのモーメントが存在するため、切り捨てられていないケースに比べて $ L_p $-誤差バウンドが鋭くなることを確立した。