[論文レビュー] On the relative Giroux correspondence

Tolga Etgü, Burak Özbağcı|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、正の安定化に関して同型類をとった抽象的部分開ブック分解（modulo positive stabilization）の同型類と、凸境界をもつコン pact接触3次元多様体の同型類との間の一対一対応を確立する。Girouxの対応を相対的状況に一般化することで、部分開ブックから導かれる suturé 3次元多様体に一意な適合接触構造を構成し、これが幾何的不変量（例えば、overtwistedness や sutured Floer homology における接触不変量）を保存する一対一対応をもたらすことを証明する。

ABSTRACT

Recently, Honda, Kazez and Matic described an adapted partial open book of a compact contact 3-manifold with convex boundary by generalizing the work of Giroux in the closed case. They also implicitly established a one-to-one correspondence between isomorphism classes of partial open book decompositions modulo positive stabilization and isomorphism classes of compact contact 3-manifolds with convex boundary. In this expository article we explicate the relative version of Giroux correspondence.

研究の動機と目的

• 凸境界をもつ3次元多様体における接触トポロジーの相対的 Giroux 対応を形式化し、明示する。
• 抽象的部分開ブック分解に適合する標準的な接触構造を定義し、境界が所定の除く集合をもつ凸境界となることを保証する。
• 正の安定化に関して同型類をとった部分開ブックの同型類と、凸境界をもつコンパクト接触3次元多様体の同型類との間の一対一対応を証明する。
• 部分開ブックを用いた接触不変量の sutured Floer homology における分析のための幾何的・位相的枠組みを提供する。

提案手法

• S を境界をもつコンパクトな曲面とし、P を境界成分が h により S に写される部分曲面とし、h が ∂P ∩ ∂S 上で恒等写像に制限されることを条件として、抽象的部分開ブック分解を三つ組 (S, P, h) として定義する。
• モノドロミー h を用いて境界成分に沿って S × [−1,0] と P × [0,1] を貼り合わせることで、バランスの取れた suturé 3次元多様体 (M, Γ) を構成する。
• M に一意な接触構造 ξ を構成し、それが部分開ブックに適合し、∂M が Γ にホモトープな除く集合をもつ凸境界となるようにする。
• この構成を用いて、正の安定化に関して同型類をとった部分開ブックの同型類から、凸境界をもつ接触3次元多様体の同型類への写像 Ψ を定義する。
• Honda–Kazez–Matić の研究を用いて逆写像 Φ を確立し、Ψ ∘ Φ と Φ ∘ Ψ が恒等写像であることを示し、対応の成立を証明する。
• 幾何的性質（例えば、overtwistedness）がモノドロミーに反映されることを検証する（例：右へ進む性質を持たないことは、overtwisted を意味する）。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Giroux の開ブックと接触構造の対応を、凸境界をもつコンパクト3次元多様体の相対的状況にどのように拡張できるか？
• RQ2 抽象的部分開ブック分解にどのような条件を課すと、所定の凸境界条件をもつ一意な適合接触構造が存在するか？
• RQ3 部分開ブックのモノドロミーは、誘導される接触構造の幾何的型（例えば、tight または overtwisted）とどのように関係するか？
• RQ4 sutured Floer homology における相対的接触不変量は、この対応によって再構成可能か？
• RQ5 部分開ブックの正の安定化と、凸境界をもつコンパクト3次元多様体上の接触構造の同相の間の正確な関係は何か？

主な発見

• 正の安定化に関して同型類をとった部分開ブック分解の同型類と、凸境界をもつコンパクト接触3次元多様体の同型類との間には一対一対応が存在する。
• この構成により、関連する suturé 多様体に一意な接触構造が得られ、境界は Γ にホモトープな除く集合をもつ凸境界となる。
• 部分開ブックのモノドロミーが右へ進む性質を持たない場合、対応する接触構造は overtwisted である。
• 標準的接触3次元球体は、アニュラス内の単一の弧上での右回りのデーン変位をモノドロミーにもつ部分開ブックに適合する接触構造として得られる。
• overtwistedディスクの標準的近傍は、特定のモノドロミーと曲面構成をもつ部分開ブックによって実現され、非タイトな場合の対応の有効性が裏付けられる。
• この対応により、sutured Floer homology における接触不変量の分解が可能となり、Giroux torsion の存在下での接触不変量の消滅が示された。