[論文レビュー] Smooth duality and co-contra correspondence

Leonid Positselski|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 19被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、自然な特徴値 $p$ における $p$-進リー群に対して滑らかで双対的関手を確立し、適切なコhomology を持つ滑らかな $G$-加群の有界なドーナツ圏の上で、自己双対的で三角的双対性を構成する。ココンパチ対応と導来函手を用いて、有限性の仮定なしに滑らかな表現の双対を滑らかなモジュールの複体へと持ち上げ、導来圏における自己双対的構造をもたらす。

ABSTRACT

The aim of this paper is to explain how to get a complex of smooth representations out of the dual vector space to a smooth representation of a p-adic Lie group, in natural characteristic. The construction does not depend on any finiteness/admissibility assumptions. Imposing such an assumption, one obtains an involutive duality on the derived category of complexes of smooth modules with admissible cohomology modules. The paper can serve as an introduction to the results about representations of locally profinite groups contained in the author's monograph on semi-infinite homological algebra arXiv:0708.3398.

研究の動機と目的

• 滑らかな $G$-加群の双対に対して、適切な可縮性の仮定がなくても、滑らかな $G$-加群の複体を割り当てる自然な双対的関手を構成すること。
• 適切なコhomology を持つ滑らかな $G$-加群の複体の導来圏上で、古典的双対性を可縮性のないモジュールへと拡張する自己双対的双対性を確立すること。
• $p$-進リー群の文脈で、ココンパチ対応と導来函手を用いて、既存の滑らかな表現の双対理論を統合的かつ一般化すること。
• 特に自然な特徴値 $p$ の設定において、滑らかなモジュールの導来圏とその双対の関係を明確にすること。
• 従来のアプローチが各次数での Ext 群の別個計算に依存するのとは異なり、商加群の圏を別々に扱う必要がなくなる導来圏的枠組みを提供すること。

提案手法

• ココンパチ対応を用いて、$G$-余代数から $G$-コモジュールの複体へと写像する導来函手 $\mathbb{L}\Phi_G$ を構成する。
• 導来コモジュール-コントラモジュール対応を適用し、滑らかな $G$-加群 $\mathcal{M}$ の双対空間 $\mathcal{M}^\vee$ を $\mathbb{L}\Phi_G(\mathcal{M}^\vee)$ を通じて滑らかな $G$-モジュールの複体へと変換する。
• $\Delta_G$ 関手を導来双対性として定義し、双対化とココンパチ対応の合成として、三角的反同型をもたらす。
• 導来圏における双対性が自己双対的かつ適切に振る舞うように、コホモロジー加群に可縮性条件を課す。
• $G$ 上のcompactly supported な局所定数関数の $\mathcal{C}$-半代数 $k(G)$ の構造を用いて、滑らかな $G$-加群を ${\boldsymbol{\mathcal{S}}}$-半モジュールとしてモデル化する。
• 忘却函手 $\mathsf{D}(G{\operatorname{\mathsf{--smooth}}}_k) \to \mathsf{D}(H{\operatorname{\mathsf{--discr}}}_k)$ の保存的性質を用いて、$\Delta_G$ が可縮的にコプレゼンテーションされた滑らかなモジュールの導来圏上で自己双対的な自己反同型であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにすれば、可縮性の仮定を必要としない、$p$-進リー群の滑らかな表現の導来双対性を構成できるか？
• RQ2 特徴値 $p$ において、ココンパチ対応は、滑らかなモジュールの双対を滑らかなモジュールの複体へと持ち上げる際に果たす役割は何か？
• RQ3 モジュール自体が可縮的でない場合でも、可縮的コホモロジーを持つ滑らかな $G$-モジュールの導来圏上で、自己双対的双対性を確立できるか？
• RQ4 本稿で構成された導来双対性は、各次数での Ext 群の計算に依存する Kohlhaase のアプローチとどのように比較できるか？
• RQ5 なぜ導来双対性は、可縮的にコプレゼンテーションされた滑らかな $G$-モジュールの導来圏に自己双対的双対性として制限できないのか？その障害は何か？

主な発見

• $\Delta_G$ 関手は、可縮的コホモロジー加群を持つ滑らかな $G$-加群の複体の有界導来圏 $\mathsf{D}^\mathsf{b}_{\mathsf{acp}}(G{\operatorname{\mathsf{--smooth}}}_k)$ において、自己双対的で三角的反同型をもたらす。
• ココンパチ対応と導来函手を用いた $\Delta_G$ の構成は、元の滑らかな表現に有限性や可縮性の仮定がなくても成立する。
• 特徴値 $p$ の体 $k$ 上の $p$-進リー群 $G$ に対して、導来双対性 $\Delta_G$ は自己双対的な自己反同型であり、古典的双対性を可縮的でないモジュールへと一般化する。
• 導来圏 $\mathsf{D}^\mathsf{b}_{\mathsf{acp}}(G{\operatorname{\mathsf{--smooth}}}_k)$ は $\mathsf{D}^\mathsf{b}(G{\operatorname{\mathsf{--smooth}}}_{k,\mathsf{acp}})$ よりも厳密に大きく、それらの間の自然な函手は同値ではない。
• 可縮的にコプレゼンテーションされた滑らかな $G$-モジュールの導来圏への双対性の拡張が失敗する障害は、$G$-コントラモジュールの既知の射影的分解が、コントラ可縮モジュールのクラスに留まらないことにある。
• 特徴値 0 では、すべての局所プロファイント群が局所準コントラノエーター的かつコホモロジー次元 0 を持つため、この双対性は同様に成り立つ。