[論文レビュー] On the Rigidity of BN-sheaves

Rainer Weissauer|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、代数閉体上のアーベル多様体の導来カテゴリ−に於いてBN層の剛性を確立し、畳み込みテンソル構造がカテゴリに剛性付き対称モノイダル構造をもたらすことを証明する。主な結果は、非可約モノイダル perverse 層に対して、カテゴリー次元（Euler 指標）が評価準同型の構造を決定することであり、畳み込み $K^\vee * K$ の最小成分が perverse 共同ホモロジーによって一意に定まる。これにより、多重度のない分解と、ハード Lefschetz 定理によるコホモロジー次元の上限が得られる。

ABSTRACT

We define monoidal components attached to perverse sheaves on abelian varieties and discuss their properties.

研究の動機と目的

• アーベル多様体の導来カテゴリ $D_{c}^{b}(X,\Lambda)$ が畳み込みテンソル積を備えることの剛性を確立すること。
• perverse 層およびその双対における評価およびコエバレーショングローモーフィズムの構造を分析すること。
• 非可約モノイダル perverse 層がテンソル演算の下で示すモノドロミー的およびコホモロジー的挙動を特徴付けること。
• 畳み込み $K^\vee * K$ の上位および下位 perverse 成分が多重度のないものであり、ハード Lefschetz 定理を介してカテゴリー次元と関連づけられることを証明すること。
• カテゴリー次元 $\nu_K$ および Euler 指標 $e_\chi(K)$ を用いて、コホモロジー次元 $h_\chi(K)$ の上限を導出すること。

提案手法

• アーベル多様体 $X$ の群法則を用いて定義される畳み込み積 $K*L = Ra_*(K\boxtimes L)$ を用い、$(D_{c}^{b}(X,\Lambda),*)$ が剛性付き三角的対称モノイダルカテゴリーであることを示す。
• 分解定理およびハード Lefschetz 定理を適用し、$K^\vee * K$ を非可約 perverse 層の直和に、コホモロジー次元分のシフトを加えて分解する。
• Verdier 対称と剛性双対 $K^\vee = (-id_X)^*D(K)$ を用いて、剛性公理を満たす評価およびコエバレーショングローモーフィズムを定義する。
• Krull-Schmidt 性質を用い、$P$ を非可約 perverse 層とするとき、$P[n]$ の形の非可約成分への分解を行う。
• テンソル同値 $K \mapsto K^\vee$ と双対同型 $d_{K,L}: L^\vee * K^\vee \to (K*L)^\vee$ を用い、双対の間での評価準同型を関連付ける。
• 関係式 $h_\chi(K) = \max_j (j + h({}^pH^j(Rf_*(K_\chi))))$ を用いて、$Rf_*(K_\chi)$ の構造とコホモロジー的台の関係を導出し、$h_\chi(K)$ の上限を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 導来カテゴリ $D_{c}^{b}(X,\Lambda)$ における畳み込みテンソル構造は、アーベル多様体の導来カテゴリにどのように剛性をもたらすか？
• RQ2 非可約 $K$ に対して、評価準同型 $eval_K: K^\vee * K \to \delta_0$ の明確な構造は何か？
• RQ3 非可約かつモノイダルな $K$ に対して、$K^\vee * K$ の上位および下位 perverse 成分がなぜ多重度のないものになるのか？
• RQ4 カテゴリー次元 $\chi(K)$ は、コホモロジー次元 $h_\chi(K)$ および Euler 指標 $e_\chi(K)$ とどのように関係するか？
• RQ5 ハード Lefschetz 定理は、$\chi \in \mathcal{S}(K)$ のとき、$K_\chi$ のコホモロジー的台にどのような制約を課えるか？

主な発見

• 非可約 $K$ に対して評価準同型 $eval_K$ は、唯一の非可約 perverse 層 ${\cal P}_K[-\nu_K]$ を通して一意に因数分解され、$K^\vee * K$ が $\nu_K$ 次元で唯一の非ゼロ成分を持ち、他のすべての成分が消えることを示唆する。
• 任意の非可約モノイダル perverse 層 $K$ に対して、カテゴリー次元 $\chi(K)$ は、Euler 指標 $\sum_i (-1)^i \dim H^i(X,K)$ に等しく、$\nu_K = \chi(K)$ が評価準同型におけるコホモロジー的シフトを決定する。
• 自己双対的複体 $L$ に対して、畳み込み $L^\vee * L$ の上位および下位 perverse 層 $L_r$ および $L_{-r}$ は多重度のないものであり、すべての成分 $K_j$ に対して $m_j = 1$ かつ $\nu_{K_j} = d - r = \nu_L$ を満たす。ここで $d = \dim X$ である。
• $\chi \in \mathcal{S}(K)$ のとき、不等式 $\nu_K \leq h_\chi({\cal P}_K)$ が成り立ち、$0 \leq e_\chi({\cal P}_K) \leq 2e_\chi(K)$ が成り立つ。ここで $e_\chi(K) = h_\chi(K) - \nu_K$ であり、コホモロジー的成長がカテゴリー次元と関連づけられる。
• 写像 $f: X \to Y$ に対して、$Y$ 上にモノイダル perverse 層 $Q$ が存在し、$Q[\nu_P - \nu_L] \hookrightarrow Rf_*(P)$ かつ $e(Q) \leq e(P)$ を満たす。$P$ が最小のとき $Q$ も最小である。
• $P$ が最小であり、$Rf_*(P)$ の成分 $P_i$ に対して $Q_{j} \cong {\cal P}_{P_i}$ であるとき、$e(Q_j) = h(Q_j) - \nu_{P_i}$ であり、$e(P) \geq h(Q_j) - \nu_{P_i}$ が成り立つ。これにより、双対性を介したコホモロジー的上限が確立される。