[論文レビュー] On the S_n-equivariant Euler characteristic of M_{2,n}

Eugene Gorsky|ArXiv.org|Jul 18, 2007

Advanced Algebra and Geometry参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、非自明な自己同型群をもつ多様体に一般化されたゲッツラーの公式を用いて、$n$ 個のマークド点をもつ genus 2 曲線のモジュライ空間 $\mathcal{M}_{2,n}$ の $S_n$--equivariant ユークリッド特性類を導出する。自己同型群の作用を点配置空間に適用し、群作用とアダムス作用を用いて、すべての $n$ に対して閉形式の公式が得られる生成関数を計算する。主な結果は、異なる対称性型をもつ曲線からのオルビフォールド寄与を組み込んだ正確な生成関数である。

ABSTRACT

The Getzler's formula relates the S_n-equivariant Hodge-Deligne polynomial of the space of ordered tuples of distinct points on a given variety X with the Hodge-Deligne polynomial of X. We obtain the analogue of this formula for the case when X has a nontrivial automorphism group. Collecting together all strata of $\mathcal{M}_2$ with different automorphism groups, we derive a formula for the S_n-equivariant Euler characteristic of $\mathcal{M}_{2,n}$.

研究の動機と目的

• $n$ 個のマークド点をもつ genus 2 曲線のモジュライ空間 $\mathcal{M}_{2,n}$ の $S_n$-equivariant ユークリッド特性類を計算すること。
• 非自明な自己同型群をもつ多様体に、$S_n$-equivariant ホッジ＝デリーニュ多項式のゲッツラーの公式を拡張すること。
• 忘却写像 $\mathcal{M}_{2,n} \to \mathcal{M}_2$ のファイバーにおける $\mathrm{Aut}(C)$ の作用を、配置空間 $F(C,n)$ に考慮すること。
• 異なる自己同型群をもつ $\mathcal{M}_2$ のストラタを分析することで、$S_n$-equivariant ユークリッド特性類の生成関数を導出すること。

提案手法

• 有限群の表現のグロテンディーク環を組み込み、アダムス作用を用いてゲッツラーの公式を群作用を含む形に適合させること。
• リークシュツ固定点定理を用いて、コホホロジー上の群作用のキャラクターを計算し、固定点の数と関連付けること。
• 有限群 $G$ が $X$ に作用するときの $F(X,n)/G$ の $S_n$-equivariant ユークリッド特性類を、ニュートン多項式 $p_k$ と軌道データを含む生成関数を用いて計算すること。
• $\mathcal{M}_2$ のストラタを自己同型群の型（例：超楕円的インボリューション、より大きな群）で分類し、軌道数え上げとオルビフォールドユーグリッド特性類を用いて寄与を計算すること。
• $\mathcal{M}_{2,n}$ に公式を適用する際には、特に $\mathrm{Aut}(C)$ による $\mathbb{CP}^1$ 商をとる構造を含む、自己同型群が異なる曲線のファイバーを分析すること。
• 対称配置の構造と既知の超楕円的モジュライ空間に関する結果を用いて、$\mathcal{M}_{2,n}$ の $S_n$-equivariant ユークリッド特性類の生成関数を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非自明な自己同型群をもつ多様体に、$S_n$-equivariant ホッジ＝デリーニュ多項式のゲッツラーの公式をどのように一般化できるか？
• RQ2 $n$ 個のマークド点をもつ genus 2 曲線のモジュライ空間 $\mathcal{M}_{2,n}$ の $S_n$-equivariant ユークリッド特性類は何か？
• RQ3 genus 2 曲線の自己同型群は、マークド点の配置空間の等変トポロジーにどのように影響するか？
• RQ4 群作用のデータとオルビフォールド補正を用いて、$\mathcal{M}_{2,n}$ の $S_n$-equivariant ユークリッド特性類の生成関数を閉形式で表現できるか？
• RQ5 超楕円的インボリューションや他の自己同型は、$\mathcal{M}_{2,n}$ のオルビフォールドユーグリッド特性類の計算において果たす役割は何か？

主な発見

• $S_n$-equivariant ユークリッド特性類は、点配置における自己同型群作用を考慮した一般化された公式により導出される。
• $S_n$-equivariant ユークリッド特性類の生成関数は、ニュートン多項式 $p_k$ と群作用からの軌道データを含む有理関数として表現される。
• genus 2 では、忘却写像 $\mathcal{M}_{2,n} \to \mathcal{M}_2$ の曲線 $C$ におけるファイバーは $F(C,n)/\mathrm{Aut}(C)$ であり、$F(C,n)$ ではない。この商は $\mathrm{Aut}(C)$ の作用の下で $\mathbb{CP}^1$ に同型である。
• 超楕円的モジュライ空間のオルビフォールドユーグリッド特性類は $-{1\over 4g(2g+1)(2g+2)}$ であり、超楕円的モジュライ空間の生成関数に寄与する。
• 特に $g=2$ の場合、ユーグリッド特性類 $\chi(\mathcal{H}_{2,5})$ は消える。これは新規かつ非自明な結果である。
• $\chi(\mathcal{H}_{g,n})$ の生成関数は、$a$, $b$, $c$, $d$ を含む有理式で与えられ、$d = -{1\over 4g(2g+1)(2g+2)}$ であり、線形制約 $2a + 2b + c = 1 + {1\over 2g(2g+1)(2g+2)}$ を満たす。