[論文レビュー] On the singular sets of solutions to the Kapustin-Witten equations on compact K\"ahler surfaces

Yuuji Tanaka|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2015

Geometric and Algebraic Topology被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、コンパクトなカーラー面上のカプスティン＝ウィッテン方程式の解の特異集合が、特異的ベクトル bundle の正則セクションの零点集合として生じる正則的部分多様体であることを確立する。カプスティン＝ウィッテン方程式をカーラー面上のシンプソンの高次元ヒチン方程式と同一視することで、著者たちはタウブスのウーレンベック風コンパクトネス枠組みを用いて、特異集合が正則的構造を引き継ぐことを証明する。

ABSTRACT

Taubes' analysis on the Uhlenbeck style compactness theorem for SL(2,C)-connections on four-manifolds arXiv:1307.6447v4 (see also arXiv:1205.0514v4, arXiv:1407.6206) introduces some real codimension two singular set, outside which a sequence of partially rescaled SL(2,C)-connections has a convergent subsequence after gauge transformations except bubbling out at a finite set of points. Solutions to the Kapustin-Witten equations on a closed four-manifold are one of the cases in the framework of the above Taubes' work. On the other hand, there are equations on compact K\ahler manifold introduced by Simpson as a higher-dimensional analogue of the Hitchin equations on curves. In this article, we observe that Kapustin-Witten equations on a compact K\ahler surface are the same as Simpson's equations, and prove that the singular set introduced by Taubes for the case of Simpson's equations has a structure of a holomorphic subvariety. In fact, the singular set is obtained as the zero set of a section of a holomorphic bundle on the K\ahler surface in this case.

研究の動機と目的

• コンパクトなカーラー面上のカプスティン＝ウィッテン方程式の解における特異集合の構造を調査すること。
• カプスティン＝ウィッテン方程式とカーラー多様体上のシンプソンの高次元ヒチン方程式との間の関係を確立すること。
• タウブスのウーレンベック風コンパクトネスによって生じる特異集合が正則的部分多様体であることを証明すること。
• 特異集合がカーラー面上の正則的ベクトルバンドルの正則セクションの零点集合であることを示すこと。

提案手法

• 幾何的・解析的対応を用いて、コンパクトなカーラー面上のカプスティン＝ウィッテン方程式をシンプソンの方程式と同一視する。
• SL(2,C)-接続に対してタウブスのウーレンベック風コンパクトネス定理をカプスティン＝ウィッテン設定に適用する。
• コンパクトネスプロセスにおける部分的スケーリングとバブルの発生によって生じる特異集合を分析する。
• 基礎となるカーラー多様体の正則的構造を用いて、特異集合が正則的部分多様体であることを示す。
• カーラー面上に特異集合が正則セクションの零点集合となるような正則的ベクトルバンドルを構成する。
• 特異集合が実次元2の特異性を示す事実を活用し、複素幾何学的手法を用いて正則性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトなカーラー面上のカプスティン＝ウィッテン方程式の解の特異集合は正則的部分多様体か？
• RQ2 カーラー面上のカプスティン＝ウィッテン方程式は、シンプソンの高次元ヒチン方程式とどのように関係しているか？
• RQ3 タウブスのコンパクトネス定理によって生じる特異集合は、正則セクションの零点集合として記述可能か？
• RQ4 特異集合は、周囲のカーラー多様体からどのような幾何的構造を引き継ぐか？
• RQ5 ウーレンベックコンパクトネス枠組みにおける実次元2の特異集合は、この特定の状況で正則的構造を有するか？

主な発見

• コンパクトなカーラー面上のカプスティン＝ウィッテン方程式の解の特異集合は正則的部分多様体である。
• コンパクトなカーラー面上のカプスティン＝ウィッテン方程式は、高次元ヒチン枠組みにおけるシンプソンの方程式と一致する。
• 特異集合は、カーラー面上の正則的ベクトルバンドルのグローバル正則セクションの零点集合として生じる。
• 特異集合の正則的構造は、カーラー幾何学とタウブスの方法によるコンパクトネス解析の直接的結果である。
• 特異集合は実次元2であり、周囲の多様体からの複素解析的構造を引き継ぐ。
• この結果は、特異集合が任意ではなく、表面の正則的幾何学と本質的に結びついていることを確認する。