[論文レビュー] On the stability of extensions of tangent sheaves on Kähler-Einstein Fano / Calabi-Yau pairs

Chi Li|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2018

Geometry and complex manifolds参考文献 37被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、ケーラー・エインシュタインFanoおよびカバヤ・ヤウ対について、オルビフォールド接層の拡張層の勾配半安定性を確立し、Tianの結果を一般化する。補助的により ample な除集合とオルビフォールド幾何学を用いた連続的技法により、K-安定な対数Fano対および対数カバヤ・ヤウ対に対して、反 canonical バンドルの第一チャーン類（または任意の ample ラインバンドル）に関連する拡張層が、関連する極化に関して勾配半安定であることを証明する。これにより、新たなMiyaoka-Yau型不等式が得られ、体積密度と局所オイラー数の間の予想が解決される。

ABSTRACT

Let $S$ be a smooth projective variety and $Δ$ a simple normal crossing $\mathbb{Q}$-divisor with coefficients in $(0,1]$. For any ample $\mathbb{Q}$-line bundle $L$ over $S$, we denote by $\mathscr{E}(L)$ the extension sheaf of the orbifold tangent sheaf $T_S(-\log(Δ))$ by the structure sheaf $\mathcal{O}_S$ with the extension class $c_1(L)$. We show the following two results: (i) If $-(K_S+Δ)$ is ample and $(S, Δ)$ is K-semistable, then for any $λ\in \mathbb{Q}_{>0}$, the extension sheaf $\mathscr{E}({λc_1(-(K_S+Δ))})$ is slope semistable with respect to $-(K_S+Δ)$; (ii) If $K_S+Δ\equiv 0$, then for any ample $\mathbb{Q}$-line bundle $L$ over $S$, $\mathscr{E}(L)$ is slope semistable with respect to $L$. These results generalize Tian's result where $-K_S$ is ample and $Δ=\emptyset$. We give two applications of these results. The first is to study a question by Borbon-Spotti about the relationship between local Euler numbers and normalized volumes of log canonical surface singularities. We prove that the two invariants differ only by a factor $4$ when the log canonical pair is an orbifold cone over a marked Riemann surface. The second application is to derive Miyaoka-Yau-type inequalities on K-semistable log-smooth Fano pairs and Calabi-Yau pairs, which generalize some Chern-number inequalities proved by Song-Wang.

研究の動機と目的

• ケーラー・エインシュタインFanoおよびカバヤ・ヤウ対の対数的設定において、接層拡張の勾配半安定性に関するTianの結果を一般化すること。
• 拡張層の安定性を用いて、K-安定な対数滑らかFanoおよびカバヤ・ヤウ対に対する新たなMiyaoka-Yau型不等式を確立すること。
• Borbon-Spottiが提唱した、対数正則な表面特異点における正規化体積と局所オイラー数の関係に関する予想を、オルビフォールドコーンの場合に4倍の要因の違いがあることを示すことにより解決すること。

提案手法

• アーリットなQ-ラインバンドルLに対して、$\mathscr{E}(L)$として、オルビフォールド接層$T_S(-\log \Delta)$を$\mathcal{O}_S$で拡張する層を導入し、その拡張類を$c_1(L)$とする。
• tが1に近いときの摂動された対$(S, \Delta + \frac{1-t}{m}H)$におけるケーラー・エインシュタイン計量を用いた連続的技法を適用し、補助的な非常に ample な除集合$H$を用いる。
• 特に、マークされたリーマン面を底面とするオルビフォールドコーンとしてモデル化される対数終値な表面特異点において、対数対のオルビフォールド構造を用いて特異点を分析する。
• 引き戻し被覆$\sigma_S: S' \to S$上でBogomolov-Gieseker不等式を適用し、拡張層の判別式をチャーン類に関連づけて、Miyaoka-Yau不等式を導出する。
• 被覆上の引き戻し拡張層$\mathscr{E}_{S'}$の安定性に依存し、下降およびオルビフォールド幾何学を用いて元の対における安定性を導く。
• LangerおよびBorbon-Spottiの局所オイラー数と体積密度に関する結果を適用し、オルビフォールドコーンの場合に4倍の要因の違いがあることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 K-安定かつ対数Fanoな場合に、オルビフォールド接層の構造層による拡張層が、勾配半安定性を保つだろうか？
• RQ2 任意の ample なQ-ラインバンドルに関して、対数カバヤ・ヤウの場合に、拡張層の勾配半安定性が保たれるだろうか？
• RQ3 対数正則な表面特異点の正規化体積は、特異なケーラー・エインシュタイン計量の局所オイラー数と、普遍的定数の違いを除いて一致するだろうか？
• RQ4 拡張層の安定性を用いて、K-安定な対数滑らかFanoおよびカバヤ・ヤウ対に対するMiyaoka-Yau型不等式を一般化できるだろうか？
• RQ5 オルビフォールドコーン特異点の場合に、特異ケーラー・エインシュタイン計量の体積密度とLangerの局所オイラー数との正確な関係は何か？

主な発見

• 任意のK-安定な対数滑らかFano対$(S, \Delta)$に対して、すべての$\lambda \in \mathbb{Q}_{>0}$に対して、$-(K_S + \Delta)$に関して、拡張層$\mathscr{E}(\lambda c_1(-(K_S + \Delta)))$は勾配半安定である。
• 対数カバヤ・ヤウの場合、任意の ample なQ-ラインバンドル$L$に関して、拡張層$\mathscr{E}(L)$は勾配半安定である。
• マークされたリーマン面を底面とするオルビフォールドコーン特異点において、正規化体積と局所オイラー数は、正確に4倍の違いがある。
• 本稿は、$\mathbb{C}^2$内のすべてのライン配置について、Langerの局所オイラー数の計算を完成させ、オルビフォールドコーンの場合に4倍の関係を確立した。
• 分岐被覆上の拡張層の引き戻しにBogomolov-Gieseker不等式を適用することにより、K-安定な対数滑らかFano対に対して新たなMiyaoka-Yau型不等式が導出された。
• Miyaoka-Yau不等式の等号の場合には、対がトーリックオルビフォールドであるか、特に対称的な構造を持つ場合に対応すると予想されるが、本稿では完全には特徴づけられていない。