[論文レビュー] On the stochastic Strichartz estimates and the stochastic nonlinear Schrödinger equation on a compact riemannian manifold

Zdzisław Brzeźniak, Annie Millet|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2012

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、2次元のコンpactなリーマン多様体上での乗法的ノイズを伴う確率的非線形シュレーディンガー方程式（SNLS）のグローバル解の存在および一意性を、新規の確率的ストリコフ推移不等式を用いて確立する。主な貢献は、非分散的推移不等式が成立しないこの設定においても、定義域が有限エネルギー空間 $ H^{1,2}(M) $ 内にある初期データに対して、焦点化および非焦点化非線形性の両方のグローバル存在を可能にする、新たな確率的ストリコフ不等式の確立である。これは、ユークリッド空間における先行研究を拡張するものである。

ABSTRACT

We prove the existence and the uniqueness of a solution to the stochastic NSLE on a two-dimensional compact riemannian manifold. Thus we generalize a recent work by Burq, Gérard and Tzvetkov in the deterministic setting, and a series of papers by de Bouard and Debussche, who have examined similar questions in the case of the flat euclidean space with random perturbation. We prove the existence and the uniqueness of a local maximal solution to stochastic nonlinear Schrödinger equations with multiplicative noise on a compact d-dimensional riemannian manifold. Under more regularity on the noise, we prove that the solution is global when the nonlinearity is of defocusing or of focusing type, d=2 and the initial data belongs to the finite energy space. Our proof is based on improved stochastic Strichartz inequalities.

研究の動機と目的

• 平坦なユークリッド空間からコンパクトなリーマン多様体へ、確率的非線形シュレーディンガー方程式（SNLS）のグローバル存在結果を一般化すること。
• 分散的推移不等式が失敗するこの設定においても、コンパクト多様体上での確率的畳み込みに対して、新たな確率的ストリコフ不等式を確立すること。
• 初期データが $ H^{1,2}(M) $ に属する場合に、ストラトノビッチ形式のSNLSのグローバル解の存在および一意性を、$ L^2 $-ノルムの保存およびリャプノフ関数の制御を用いて証明すること。
• 非線形拡散係数が $ g(u) = \tilde{g}(|u|^2)u $ の形をとる場合の枠組みの拡張を図り、正則性仮定のもとで有限時間内に爆発しないことを保証すること。

提案手法

• 2-滑らかなバナッハ空間における $ M^p(0,T;E) $ におけるバーグシュタインの不等式およびカハネ＝カインキン不等式を用いて、改良された確率的ストリコフ不等式を導出する。
• $ \theta $ に制限がない条件下で、$ W^{\theta,2}(D) \cap L^\infty(D) $ におけるネミツキー作用素を一般化し、低正則性多様体上での解析を可能にする。
• 伊藤形式およびストラトノビッチ形式を用いた、NLS型確率的発展方程式の最大局所解に対する抽象的枠組みを適用する。
• 爆発を避けるためのハシミンスキーのテストを用い、エネルギー保存則およびリャプノフ関数の推定に基づいて、$ H^{1,2} $-ノルムに対する一様事前推定を証明する。
• グローバル存在を確立するため、爆発時刻までに $ H^{1,2} $-ノルムの均一なモーメントバウンドを検証し、グローバル不等式およびガリャルド・ニレングラート埋め込みを用いる。
• $ H^{1,2} $-ノルムが $ t \nearrow \tau_\infty < \infty $ に近づくにつれてほとんど確実に爆発することを証明し、解の最大性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分散的推移不等式が失敗するコンパクトなリーマン多様体上でも、確率的ストリコフ推移不等式を一般化できるか？
• RQ2 特に焦点化および非焦点化非線形性において、ユークリッド空間と同様の条件下で、コンパクト多様体上でのSNLSの解のグローバル存在が成立するか？
• RQ3 伊藤形式が不適切な場合に、ストラトノビッチ形式が $ L^2 $-ノルムを保存し、グローバル存在を保証できるか？
• RQ4 ノイズおよび拡散係数にどのような条件を課すと、コンパクト多様体上での有限時間内爆発を回避できるか？
• RQ5 分散的推移不等式が存在しない状況において、確率的畳み込みに対する確率的ストリコフ不等式をどのように構築できるか？

主な発見

• 本稿は、初期データが $ H^{1,2}(M) $ に属する場合に、2次元コンパクトなリーマン多様体上での乗法的ノイズを伴うSNLSのグローバル解の存在および一意性を証明する。
• 分散的推移不等式が失敗するコンパクト多様体上でも有効である、従来の結果よりも強い新たな確率的ストリコフ不等式が確立された。
• 解の $ H^{1,2} $-ノルムが爆発時刻 $ \tau_\infty $ に近づくにつれてほとんど確実に爆発することを確認し、解の最大性が裏付けられた。
• ストラトノビッチ形式を用いることで、$ L^2 $-ノルムを保存し、リャプノフ関数による制御を可能にしたため、グローバル存在が達成された。
• スケーリング許容条件 $ \frac{2}{p} + \frac{2}{q} = 1 $ およびノイズの可積分性仮定の下で、解の軌道は $ [0,\infty) $ 上でほとんど確実に $ H^{1,2}(M) $ で連続である。
• グローバル不等式およびガリャルド・ニレングラート埋め込みを用いて、$ \mathbb{E}[\Psi(u(t \wedge \tilde{\tau}_k))] $ の均一なモーメントバウンドがグローバル不等式によって確立され、爆発の回避およびグローバル存在の証明がなされた。