[論文レビュー] On the strange duality conjecture for abelian surfaces II

Barbara Bolognese, Alina Marian+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、アーベル面におけるル・ポティエの奇妙な双対性予想の新しい版を確立し、固定された決定的線束とフーリエ＝ムカイ変換の決定的線束を固定する層のモジュライ空間上の決定的線束の断片空間の間の同型を証明する。ランク1におけるヘイゼンベルグ群表現論と、積アーベル面におけるフーリエ＝ムカイ技法を用いて、広範なムカイベクトルのクラスに対して双対性を一般に証明し、テータ関数の変動を符号化するヴェルリンクデ層がモジュライ空間上で局域的に自由であることを示す。

ABSTRACT

In the prequel to this paper, two versions of Le Potier's strange duality conjecture for sheaves over abelian surfaces were studied. A third version is considered here. In the current setup, the isomorphism involves moduli spaces of sheaves with fixed determinant and fixed determinant of the Fourier-Mukai transform on one side, and moduli spaces where both determinants vary, on the other side. We first establish the isomorphism in rank one using the representation theory of Heisenberg groups. For product abelian surfaces, the isomorphism is then shown to hold for sheaves with fiber degree 1 via Fourier-Mukai techniques. By degeneration to product geometries, the duality is obtained generically for a large number of numerical types. Finally, it is shown in great generality that the Verlinde sheaves encoding the variation of the spaces of theta functions are locally free over moduli.

研究の動機と目的

• アーベル面におけるル・ポティエの奇妙な双対性予想の第三の形を提示・証明すること。一方の側では、決定的線束とフーリエ＝ムカイ変換の決定的線束を両方固定し、他方の側では両方が変化を許す設定を含む。
• ヘイゼンベルグ群の表現論を用いてランク1の場合の奇妙な双対性同型を確立すること。
• 積アーベル面でファイバー次数が1である場合に、フーリエ＝ムカイ技法を用いて双対性を拡張すること。
• 分解技術を用いて積幾何にまで退化させることで、広範な数値型のクラスに一般化すること。
• テータ関数の変動を符号化するヴェルリンクデ層が、層のモジュライ空間上で局所的に自由であることを示すこと。

提案手法

• ヘイゼンベルグ群の表現論を用いてランク1の場合の奇妙な双対性同型を証明する。
• フーリエ＝ムカイ変換を応用し、固定された決定的線束と変換の決定的線束を固定する層のモジュライ空間を関連付ける。
• 各ファイバーが $\mathsf{K}_v$ である、$\mathsf{M}_v \to X \times \widehat{X}$ へのアーベリアン写像 $\mathsf{a}$ の構成により、固定された決定的線束を持つ部分空間を定義する。
• 普遍族を介して、$\mathsf{M}_v$ 上の決定的線束 $\Theta_F = \det \mathbf{R} p_!(\mathcal{E} \otimes q^*F)^{-1}$ を利用する。
• 積幾何にまで分解する技術を用いて、積アーベル面から一般のアーベル面への双対性結果を一般に拡張する。
• テータ関数の空間の変動を符号化するヴェルリンクデ層 $\mathcal{V}(v,w)$ が、モジュライ空間上で局所的に自由であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一方の側で決定的線束とフーリエ＝ムカイ変換の決定的線束を両方固定し、他方の側で両方を変化を許す非対称な設定において、奇妙な双対性は成立するか？
• RQ2 ヘイゼンベルグ群の表現論を用いてランク1の場合の奇妙な双対性同型を確立できるか？
• RQ3 分解技術を用いて、積アーベル面から一般のアーベル面への双対性は拡張可能か？
• RQ4 テータ関数の変動を符号化するヴェルリンクデ層が、層のモジュライ空間上で局所的に自由であるか？
• RQ5 この新しい双対性設定における断片空間の次元の正確な数的関係は何か？

主な発見

• ヘイゼンベルグ群の表現論を用いてランク1の場合に奇妙な双対性同型が成立し、広範なムカイベクトルのクラスに対して双対性が確立される。
• ファイバー次数が1である積アーベル面では、フーリエ＝ムカイ技法とアーベリアン写像の構造を用いて双対性同型が証明される。
• 積幾何にまで分解することで、ムカイベクトルの広範な数値型のクラスに対して双対性が一般に成立することが示される。
• 双対性写像の下で、断片空間 $H^0(\mathsf{K}_v, \Theta_w)$ と $H^0(\mathsf{M}_w, \Theta_v)$ が同型であることが示され、次元は組合せ論的公式 $\frac{d_v^2}{d_v + d_w} \binom{d_v + d_w}{d_v}$ と一致する。
• テータ関数の空間の変動を符号化するヴェルリンクデ層 $\mathcal{V}(v,w)$ が、層のモジュライ空間上で局所的に自由であることが証明される。
• 線束 $\Theta_F$ に関連する写像 $\alpha$ の核が、部分多様体 $\mathsf{G}_w$ と一致することが示され、アーベリアン写像による双対性条件が確認される。