[論文レビュー] On the submetrizability number and $i$-weight of quasi-uniform spaces and paratopological groups

Тарас Банах, Alex Ravsky|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2015

Advanced Topology and Set Theory参考文献 16被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、パラトポロジカル群と準一様空間の標準的左および右準一様性を分析することにより、部分メトライズ可能数およびi-重みの上界を確立する。2002年の問題を解決し、第一可算的ハウスドルフパラトポロジカル群が部分メトライズ可能であることを証明するとともに、可算な擬似特性を持つが部分メトライズ可能でない、ゼロ次元的、正則的、ハウスドルフ的、アーベル的パラトポロジカル群の構成により、上界の鋭さを示している。

ABSTRACT

We derive many upper bounds on the submetrizability number and $i$-weight of paratopological groups and topological monoids with open shifts. In particular, we prove that each first countable Hausdorff paratopological group is submetrizable thus answering a problem of Arhangelskii posed in 2002. Also we construct an example of a zero-dimensional (and hence regular) Hausdorff paratopological abelian group $G$ with countable pseudocharacter which is not submetrizable. In fact, all results on the $i$-weight and submetrizability are derived from more general results concerning normally quasi-uniformizable and bi-quasi-uniformizable spaces.

研究の動機と目的

• アールェンゲルスキーが2002年に提起した未解決問題、すなわち、すべての第一可算的ハウスドルフパラトポロジカル群がより弱いメトライズ可能な位相をもつのかどうかを解明すること。
• 開移動をもつパラトポロジカル群およびトポロジカルモノイドの部分メトライズ可能性数およびi-重みに対する上界を導出すること。
• 部分メトライズ可能性の鍵となる条件として、準ロエルケ一様性の擬似特性を調査すること。
• 一般に、可算な擬似特性が部分メトライズ可能性を示さないことを示す反例を構成すること、特に正則的・ゼロ次元的設定でも同様であることを示すこと。
• 通常準一様化可能および二重準一様化可能な空間に関する結果を一般化し、i-重みおよび部分メトライズ可能性に関する基数不等式を導出すること。

提案手法

• パラトポロジカル群 G における準ロエルケ一様性 Q を、恒等元の開近傍 U に対して {(x,y) : y ∈ UxU⁻¹ ∩ U⁻¹xU} で定義される準一様性として分析する。
• G における左および右準一様性 L および R を用い、部分メトライズ可能性を制御する擬似特性 ψ(Q) の上界を導出する。
• 通常 ±-部分可換準一様性に関する結果を適用し、正則性を保証し、i-重みの上界を導出する。
• 有限台を持つ H = ↑Z^κ という特定のパラトポロジカル群を構成し、可算な擬似特性を持つが ψ(Q) が非可算である例を示し、可算な擬似特性が部分メトライズ可能性を示さないことを示す。
• 強い σ-離散性およびネットワークの議論を用いて、H における部分メトライズ可能性を証明し、i-重みを log(κ) で計算する。
• 強い σ-離散的 Tychonoff 空間がゼロ次元的であることを利用し、正則的・ゼロ次元的反例の構成を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての第一可算的ハウスドルフパラトポロジカル群は部分メトライズ可能か？
• RQ2 パラトポロジカル群が可算な擬似特性を持つが、部分メトライズ可能でないことはあり得るか？
• RQ3 パラトポロジカル群において、i-重みと準ロエルケ一様性の擬似特性の間にはどのような関係があるか？
• RQ4 左および右準一様性は、パラトポロジカル群の部分メトライズ可能性およびi-重みにどのように影響するか？
• RQ5 有限台を持つ群 ↑Z^κ に対して、どのような基数不変量が計算可能か。また、それらはその位相的性質とどのように関係するか？

主な発見

• すべての第一可算的ハウスドルフパラトポロジカル群は部分メトライズ可能であり、2002年にアールェンゲルスキーが提起した問題が解決された。
• ゼロ次元的、正則的、ハウスドルフ的、アーベル的パラトポロジカル群 H が存在し、可算な擬似特性を持つが部分メトライズ可能でない。
• 有限台を持つ群 H = ↑Z^κ に対して、i-重みは iw(H) · ω = log(κ) を満たす。ここで κ は非可算基数である。
• H における準ロエルケ一様性 Q に対して ψ(Q) = κ であるが、擬似特性 ψ(H) = ω であるため、ψ(Q) が非可算であっても ψ(H) が可算であることが可能であることを示している。
• H における左準一様性 L に対して ℓ(L) = dc(H) = κ であり、H が強い σ-離散的であっても、左一様性は可算に生成されないことが示されている。
• 部分メトライズ可能性数 sm(H) ≤ ψ(Q) = κ であるが、sm(H) < ψ(Q) である可能性もあり、不等号が厳密に成り立つことがある。