[論文レビュー] On the surjectivity properties of perturbations of maximal monotone operators in non-reflexive Banach spaces

M. Marques Alves, B. F. Svaiter|ArXiv.org|May 29, 2008

Optimization and Variational Analysis参考文献 20被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、非反射的バナッハ空間における最大単調作用素の摂動に関する全射性基準を、反射的空間におけるロッカフェラーの全射性結果を非反射的設定へ拡張することによって確立する。ゴスンツの拡大された双対写像とフィッツパトリック関数理論を用いて、最大単調作用素 $ T $ が双対写像 $ J $ で摂動されたとき、その全射性を示し、フィッツパトリック関数を含むある種の下界畳み込み条件との同値性を通じて、反射的ケースの一般化を達成する。

ABSTRACT

We are concerned with surjectivity of perturbations of maximal monotone operators in non-reflexive Banach spaces. While in a reflexive setting, a classical surjectivity result due to Rockafellar gives a necessary and sufficient condition to maximal monotonicity, in a non-reflexive space we characterize maximality using a ``enlarged'' version of the duality mapping, introduced previously by Gossez.

研究の動機と目的

• 反射的空間から非反射的バナッハ空間への最大単調作用素のロッカフェラーの全射性結果の拡張。
• ゴスンツの拡大された双対写像を用いた非反射的空間における単調作用素の最大性の特徴付け。
• 最大単調作用素 $ T $ と双対写像 $ J $ の和 $ T + J $ の全射性の必要十分条件の確立。
• フィッツパトリック関数の技法と双対積の不等式を用いて、非反射的空間における最大単調性理論の統合。

提案手法

• 非反射的バナッハ空間への単調性基準の一般化に、ゴスンツの拡大された双対写像 $ J_\varepsilon $ を用いる。
• 最大単調作用素の表現に凸関数を用いるために、フィッツパトリック関数 $ \varphi_T $ 及びその関連族 $ \mathcal{F}_T $ を用いる。
• Fenchel-Youngの不等式と共役双対性を適用し、部分微分包含関係を $ \varphi_T $ に関する点ごとの不等式に結びつける。
• 作用素を $ (x_0, x_0^*) $ でシフトする摂動的アプローチを用い、得られる関数 $ h_{(x_0,x_0^*)} $ を分析する。
• $ \varepsilon > 0 $ を用いた極限的アプローチにより、$ g_{(x_0,x_0^*)}(x,x^*) + \frac{1}{2}\|x\|^2 + \frac{1}{2}\|x^*\|^2 $ の下界が 0 に収束することを示す。
• $ T + J $ の全射性と、すべての $ g \in \mathcal{F}_T $ に対して $ \inf_{x,x^*} g_{(x_0,x_0^*)}(x,x^*) + \frac{1}{2}\|x\|^2 + \frac{1}{2}\|x^*\|^2 = 0 $ であるという条件との同値性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非反射的バナッハ空間において、最大単調作用素 $ T $ と双対写像 $ J $ の摂動 $ T + J $ が全射となる条件は何か？
• RQ2 反射的空間におけるロッカフェラーの古典的全射性結果を非反射的設定にどのように一般化できるか？
• RQ3 ゴスンツの拡大された双対写像 $ J_\varepsilon $ は、非反射的バナッハ空間における最大性および全射性の特徴付けにおいて果たす役割は何か？
• RQ4 $ T + J $ の全射性に対する、フィッツパトリック関数およびその共役を用いた同値条件は存在するか？
• RQ5 $ T + J $ の全射性は、フィッツパトリック関数とノルムの二乗を含む下界畳み込み条件によって特徴付けられるか？

主な発見

• 非反射的バナッハ空間における $ T + J $ の全射性は、すべての $ g \in \mathcal{F}_T $ およびすべての $ (x_0,x_0^*) \in T $ に対して、$ \inf_{x,x^*} g_{(x_0,x_0^*)}(x,x^*) + \frac{1}{2}\|x\|^2 + \frac{1}{2}\|x^*\|^2 = 0 $ であるという条件と同値である。
• 全射性と下界条件との同値性は、$ T $ 内のすべての $ (x_0,x_0^*) $ に対して一様に成り立ち、ロッカフェラーの結果が非反射的空間へ一般化される。
• 証明により、下界条件が成り立つならば、$ \|\tilde{x} - \bar{x}\| < \varepsilon $ および $ \|\tilde{x}^* - \bar{x}^*\| < \varepsilon $ を満たす $ (\bar{x}, \bar{x}^*) \in T $ が存在することが示され、近似解が正確な解に持ち上げられることを保証する。
• $ \inf_{(y,y^*) \in T} \langle x^{**} - y, x^* - y^* \rangle \leq 0 $ がすべての $ (x^*, x^{**}) \in X^* \times X^{**} $ に対して成り立つことは、タイプ(NI)作用素を特徴づけ、これは $ T + J $ の全射性と同値である。
• フィッツパトリック関数 $ \varphi_T $ 及びその共役は、$ T + J $ の全射性の特徴づけにおいて中心的な役割を果たし、$ T $ の点において $ \varphi_T(x,x^*) = \langle x, x^* \rangle $ が成り立つ。