[論文レビュー] On the transverse scalar curvature of a compact Sasaki manifold

Weiyong He|arXiv (Cornell University)|May 20, 2011

Geometry and complex manifolds参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、ドナルドソンのモーメント写像フレームワークをケーラー幾何からサスキー幾何に拡張し、サスキー計量の横断的スカラー曲率が厳密接触微分同相群の作用に関してモーメント写像として機能することを示している。サスキー計量の空間は無限次元対称空間であることが確立され、定数横断的スカラー曲率計量は複素化された群作用の下での安定な軌道に対応する。これはケーラーの場合の図式をサスキー多様体へ一般化する。

ABSTRACT

We show that the standard picture regarding the notion of stability of constant scalar curvature metrics in Kähler geometry described by S.K. Donaldson, which involves the geometry of infinite-dimensional groups and spaces, can be applied to the constant scalar curvature metrics in Sasaki geometry with only few modification. We prove that the space of Sasaki metrics is an infinite dimensional symmetric space and that the transverse scalar curvature of a Sasaki metric is a moment map of the strict contactomophism group.

研究の動機と目的

• 定数スカラー曲率計量のための無限次元幾何的枠組み—特にドナルドソンのモーメント写像の図式—をケーラー幾何からサスキー幾何に拡張すること。
• サスキー計量の空間が、ケーラーの場合と同様に無限次元対称空間であることを確立すること。
• 横断的スカラー曲率が、横断的ケーラー構造の空間への厳密接触微分同相群の作用に関してモーメント写像であることを示すこと。
• 測地線の放射とKエネルギー汎関数を用いて、定数横断的スカラー曲率サスキー計量の存在に関する安定性基準を提示すること。
• 幾何的不変量理論におけるヒルベルトの安定性基準をサスキーの文脈に適応できること

提案手法

• ケーラーの場合と同様に、厳密接触微分同相群の双対としてサスキー計量の空間を定義する。
• グアン＝チャンの結果を用いて測地線方程式と正則性結果を適用し、サスキー計量の空間が非正曲率であり、無限次元対称空間をなすことを示す。
• 横断的スカラー曲率が、横断的ケーラー構造の空間への厳密接触微分同相群の作用に関してモーメント写像であることを同定する。
• 厳密接触微分同相群のリー代数を複素化し、横断的ケーラー構造の空間に作用する正則ベクトル場を定義する。
• ケンプ・ネスの定理の枠組みを用いて、群によるシンプレクティック減少とその複素化による複素商との関係を確立する。
• サスキー計量の空間上のKエネルギー汎関数を用いる。これは測地線に沿って凸であり、その臨界点が定数横断的スカラー曲率計量に一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ドナルドソンのケーラー幾何におけるモーメント写像フレームワークを、最小限の修正でサスキー幾何に拡張できるか？
• RQ2 サスキー計量の空間は、ケーラーの場合と同様に無限次元対称空間か？
• RQ3 サスキー計量の横断的スカラー曲率は、厳密接触微分同相群の作用に関してモーメント写像として生じるか？
• RQ4 サスキー幾何における定数横断的スカラー曲率計量の安定性の概念は、測地線の放射とKエネルギー汎関数とどのように関係するか？
• RQ5 幾何的不変量理論におけるヒルベルトの安定性基準をサスキーの文脈に適応できるか？

主な発見

• サスキー計量の空間は無限次元対称空間であり、ケーラーの場合の一般化である。
• サスキー計量の横断的スカラー曲率は、横断的ケーラー構造の空間への厳密接触微分同相群の作用に関してモーメント写像である。
• 横断的スカラー曲率とその平均との差は、等変モーメント写像であり、安定性の解釈を可能にする。
• 定数横断的スカラー曲率計量はモーメント写像の零点に対応し、これは複素化群作用の下での安定な軌道に対応すると予想される。
• サスキー計量の空間上のKエネルギー汎関数は測地線に沿って凸であり、その臨界点は正確に定数横断的スカラー曲率計量に対応する。
• 定数横断的スカラー曲率計量の存在は、Kエネルギーが減少する測地線の放射が存在しないことと同値であり、ヒルベルト基準に類似した基準を提供する。