[論文レビュー] The Sasaki-Ricci flow and compact Sasakian manifolds of positive transverse holomorphic bisectional curvature

Weiyong He|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2011

Geometry and complex manifolds参考文献 40被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、Sasakian多様体に対するPerelman型W汎関数を導入し、基本的第1チャーン類が正であるとき、Sasaki-Ricciフローに沿って横断的スカラー曲率と直径が一様に有界であることを証明する。主な結果は、フローが任意の時刻に存在し、次元3ではSasaki-Ricciソリトンに収束することであり、横断的全ホロモルフィック双断面曲率が正である場合の、このようなソリトンの存在に対する証拠を提供する。

ABSTRACT

We show that Perelman's W-functional can be generalized to Sasaki-Ricci flow. When the basic first Chern class is positive, we prove a uniform bound on the scalar curvature, the diameter and a uniform $C^1$ bound for the transverse Ricci potential along the Sasaki-Ricci flow, which generalizes Perelman's results Kahler-Ricci flow to the Sasakian setting. We also show that the positivity of transverse of holomorphic bisectional curvature is preserved along the flow, using the methods and the results proved by Bando and Mok in Kahler setting. In particular, we show that the Sasaki-Ricci flow would converge to a Sasaki-Ricci soliton if the initial metric has nonnegative transverse holomorphic bisectional curvature.

研究の動機と目的

• PerelmanのW汎関数をSasakian幾何に拡張し、Sasaki-Ricciフローに沿って単調性を確立すること。
• 基本的第1チャーン類が正であるコンパクトなSasakian多様体に対して、横断的スカラー曲率と直径の一様有界性を証明すること。
• 3次元の場合に、Sasaki-Ricciフローが長期間にわたり存在し、Sasaki-Ricciソリトンに収束することを示すこと。
• Sasaki-Ricciフローに沿って、横断的全ホロモルフィック双断面曲率の正の性質が保存されるかを調査すること。
• Sasaki-Ricciソリトンを用いた、非負の横断的双断面曲率を持つSasakian多様体の分類フレームワークを提供すること。

提案手法

• Kähler幾何におけるPerelman汎関数に類似した、基本関数のみを用いてSasakian多様体上の横断的W汎関数を定義する。
• 準正則Sasakian多様体上でのSasaki-Ricciフローに沿って、W汎関数の単調性を確立する。
• 距離関数が基本的ではないという問題を克服するため、準正則Sasakian多様体上に横断的距離関数を導入する。
• 近似として準正則構造を用い、Rukimbiraの結果を活用することで、結果を不規則なSasakian多様体へ拡張する。
• W汎関数の単調性と横断的幾何的推定を用いて、横断的スカラー曲率と直径の一様有界性を証明する。
• 楕円型正則性およびDe Giorgi-Nash理論を適用し、W汎関数の最小化子が滑らかで正であることを示し、フローの正則性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Sasakian多様体上でのPerelman型W汎関数は存在し、Sasaki-Ricciフローに沿って単調性を保つのか？
• RQ2 基本的第1チャーン類が正であるとき、Sasaki-Ricciフローに沿って横断的スカラー曲率と直径は一様に有界なのか？
• RQ3 横断的全ホロモルフィック双断面曲率が正である場合、3次元におけるSasaki-RicciフローはSasaki-Ricciソリトンに収束するのか？
• RQ4 Sasaki-Ricciフローに沿って、横断的全ホロモルフィック双断面曲率の正の性質は保存されるのか？
• RQ5 非負の横断的双断面曲率を持つSasaki-Ricciソリトンの分類とは何か？そして、Sasakian多様体の幾何とどのように関係するのか？

主な発見

• W汎関数は、準正則Sasakian多様体上でのSasaki-Ricciフローに沿って単調であり、Perelmanの枠組みがSasakian設定へと拡張されたことを示す。
• 基本的第1チャーン類が正であるコンパクトなSasakian多様体上では、Sasaki-Ricciフローに沿って横断的スカラー曲率と直径が一様に有界である。
• Sasaki-Ricciフローは任意の正の時刻に存在し、次元3ではSasaki-Ricciソリトンに収束する。
• 横断的全ホロモルフィック双断面曲率の正の性質は、Sasaki-Ricciフローに沿って保存され、曲率テンソルの有界性を示唆する。
• W汎関数の最小化子は滑らかで正であり、フローの正則性を保証し、ソリトンへの収束を支援する。
• 非負の横断的双断面曲率を持つSasaki-Ricciソリトンの分類は、同様にKähler幾何におけるFrankel予想に類似した、このような曲率を持つSasakian多様体の分類を示唆する。