[論文レビュー] On the volume of the intersection of two $L_p^n$ balls

Gideon Schechtman, Joel Zinn|ArXiv.org|Nov 9, 1989

Mathematics and ApplicationsMathematics参考文献 1被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、高次元における $L_p^n$ および $L_q^n$ ボールの共通領域の体積に対して鋭い指数的評価を確立し、$t$-倍の $L_q^n$ ボールの外側の正規化体積が、$t$ が特定の範囲にあるとき $\exp(-c t^p n^{p/q})$ のように減少することを示している。解析には、$L_p$-分布する確率変数の新規クラスと表面測度の技法を用い、$\ell_p^n$-ノルムの精密な尾確率推定を導出している。

ABSTRACT

This note deals with the following problem, the case $p=1$, $q=2$ of which was introduced to us by Vitali Milman: What is the volume left in the $L_p^n$ ball after removing a t-multiple of the $L_q^n$ ball? Recall that the $L_r^n$ ball is the set $\{(t_1,t_2,\dots,t_n);\ t_i\in{\bf R},\ n^{-1}\sum_{i=1}^n|t_i|^r\le 1\}$ and note that for $0

研究の動機と目的

• 1 \leq p < q < \infty の場合に、$L_p^n$ ボールの $t$-スケール化された $L_q^n$ ボールに含まれない部分の漸近的体積を特定すること。
• 正規化された表面測度の下で $\ell_p^n$-ノルムの精密な尾確率推定を導出すること。
• $L_q^n$ ボールの外側の体積の指数的減少率における普遍的定数を確立すること、$n$ に依存しないこと。
• 径方向成分の積分を用いて、$L_p^n$ ボール上の正規化されたLebesgue測度へ結果を拡張すること。

提案手法

• 密度 $c_p e^{-t^p}$ を持つ i.i.d. 確率変数のクラスを導入し、その正規化された $\ell_p^n$-ノルムベクトルが $L_p^n$ 球の正の象限に一様に分布することを示す。
• 正規化されたベクトルが径方向成分 $S = (\sum x_i^p)^{1/p}$ と独立であることを用いて、角度的および径方向的挙動を分離する。
• ガンマ関数の性質と指数モーメントを用いて、$x_i^p$ のモーメントおよび尾確率の評価を実行し、特に $\mathbb{E}[e^{-h x^p}] = (1+h)^{-1/p}$ を利用する。
• インデックスの二重分割による段階的推移（chaining）を用い、$\max x_i$ および $\mathbb{E}[\sum x_i^q]^{1/q}$ の評価を用いて、正規化されたベクトルの $\ell_q^n$-ノルムを制御する。
• 指数モーメント不等式および濃度推定を用いて、表面測度の下での $\|u\|_{L_q^n}$ の上側および下側尾確率推定を導出する。
• 公式 $\nu(A) = n \int_0^1 r^{n-1} \mu(A/r) \, dr$ を用いて、表面測度から体積測度へ結果を転送する。ここで $\nu$ は $L_p^n$ ボール上の正規化されたLebesgue測度である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $1 \leq p < q < \infty$ の場合に、$t$-スケール化された $L_q^n$ ボールの外にある $L_p^n$ ボールの漸近的体積は何か？
• RQ2 正規化された表面測度の下で、$L_p^n$ 球上での $\ell_q^n$-ノルムの尾確率はどのように振る舞うか？
• RQ3 $L_q^n$ ボールの外側の体積の減少率を、$n$ に依存しない定数で定量的に評価できるか？
• RQ4 減少率が $t$、$p$、$q$、$n$ にどのように依存するか、正確に特定できるか？
• RQ5 表面測度に関する結果は、$L_p^n$ ボール全体の体積測度へどのように拡張できるか？

主な発見

• $t > T(p,q)$ のとき、$\|u\|_{L_q^n} > t$ となる集合の正規化された表面測度は、$c$ が $p$ と $q$ のみに依存する定数である限り、上界 $\exp(-c t^p n^{p/q})$ で抑えられる。
• $2 \leq t \leq \frac{1}{2} n^{1/p - 1/q}$ の範囲では、正規化された表面測度が $\mu(\|u\|_{L_q^n} > t) \geq \exp(-C t^p n^{p/q})$ を満たし、$C$ は $p$ と $q$ のみに依存する。
• 上界と下界における定数 $c$ と $C$ は、$q > 2p$ の場合、それぞれ $\gamma / p$ と $\Gamma / p$ として取ることができ、$\gamma, \Gamma$ は普遍的定数である。
• $q = \infty$ の場合、尾確率は $\mu(\|u\|_\infty > t) \leq \exp(-\gamma t^p / p)$ および $\geq \exp(-\Gamma t^p / p)$ となるが、$t > \tau (\log n)^{1/p}$ のとき成り立つ。
• 正規化された $L_p^n$ ボールの外側の体積は、$t > T(p,q)$ のとき $\exp(-c t^p n^{p/q})$ のように減少し、$T(p,q) = \tau \min\{q, \log n\}^{1/p}$ である。
• 結果は $p > 0$ に対しても拡張可能であるが、この場合の定数の $p$ および $q$ への依存関係は完全に特定されていない。