[論文レビュー] On time inhomogeneous stochastic Itô equations with drift in $L_{d+1}$

Н. В. Крылов|arXiv (Cornell University)|May 18, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 24被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、一様非退化かつ有界な拡散項と $L_{d+1}(\mathbb{R}^{d+1})$ 内の非定常項をもつ時不変イトウ型確率微分方程式に対する弱解の存在を、A.V. スコロホドにインspiredされた手法を用いて確立する。主な貢献は、非定常状態において、非定常項の臨界的可積分性条件の下での可解性の証明であり、これは先行研究を拡張するものであり、時不変状態におけるこの特定の $L_{d+1}$ 条件について、これが初めての結果であると思われる。

ABSTRACT

We prove the solvability of Itô stochastic equations with uniformly nondegenerate, bounded, measurable diffusion and drift in $L_{d+1}(\mathbb{R}^{d+1})$. Actually, the powers of summability of the drift in $x$ and $t$ could be different. Our results seem to be new even if the diffusion is constant. The method of proving the solvability belongs to A.V. Skorokhod. Weak uniqueness of solutions is an open problem even if the diffusion is constant.

研究の動機と目的

• 時不変イトウ型確率微分方程式の非定常項が $L_{d+1}(\mathbb{R}^{d+1})$ に属する場合の可解性を確立すること。
• 不規則な非定常項をもつ SDE に関する既存の結果を拡張し、非定常項が $L_{d+1}$ に属することを許容すること。
• 有界かつ可測な拡散項と $L_{d+1}$ 非定常項をもつような方程式に対して、対応する強マルコフ過程の存在を証明すること。
• 古典的な $\frac{d}{p} + \frac{2}{q} \leq 1$ 条件とは異なり、時間と空間における異なるsummabilityパワーを許容する条件下での SDE の可解性を扱うこと。

提案手法

• 弱解の存在を証明するために、A.V. スコロホドの手法にインspiredされた方法を用いる。
• A.I. ナザロフの PDE を用いた研究から影響を受ける、半マルティンゲール分布に対する新しい混合ノルム推定を採用する。
• マルコフ系と半コンパクト性の理論を用いて、解から強マルコフ過程を構成する。
• マルコフ過程の構成の基盤として、SDE の解の存在（定理 3.1）に依存する。
• $B$-システムの定義と測度の収束を用いて、構成された過程のマルコフ性を検証する。
• 生成作用素 $L$ を用いたマルティンゲール問題の定式化により、マルコフ過程を特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非定常項が $L_{d+1}(\mathbb{R}^{d+1})$ に属する場合、時不変イトウ型 SDE に対して弱解が存在するか？
• RQ2 非定常項が $L_{d+1}$ に属するが、拡散項が定数の場合、可解性の結果は成り立つか？
• RQ3 $p=q=d+1$ の下で $\frac{d}{p} + \frac{1}{q} \leq 1$ が十分であるか、すなわち $\frac{d}{p} + \frac{2}{q} > 1$ であっても成り立つか？
• RQ4 有界かつ可測な拡散項と $L_{d+1}$ 非定常項をもつ SDE に対して、強マルコフ過程を構成できるか？
• RQ5 これらの条件下で弱解の一意性が保証されるか、それとも未解決の問題のままか？

主な発見

• 本稿は、非定常項 $b$ が $L_{d+1}(\mathbb{R}^{d+1})$ に属する条件下で、SDE (1.2) の弱解の存在を証明する。これは拡散項が定数であっても成り立つ。
• 可解性の結果は、A.V. スコロホドの手法に基づき、半マルティンゲール分布に対する混合ノルム推定を用いることで確立される。
• 定理 6.1 で、$\sigma$ が有界かつ可測で、$b \in L_{d+1}$ であるような SDE に対して、対応する強マルコフ過程の存在が証明される。
• $p=q=d+1$ の下で $\frac{d}{p} + \frac{1}{q} \leq 1$ が可解性に十分であることが示され、これは古典的な $\frac{d}{p} + \frac{2}{q} \leq 1$ の範囲外に位置するにもかかわらず成り立つ。
• 弱解の一意性は、拡散項が定数であっても未解決の問題のままである。
• ホルダー連続性やハルナック型推定を要求せず、最小限の可積分性のもとでの存在性とマルコフ性に焦点を当てる。