[論文レビュー] On Ulam type stability for nonlinear implicit fractional differential equations

D. B. Dhaigude, Sandeep P. Bhairat|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2017

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、逐次近似法を用いて、非線形陰伏的分数マーチャル微分方程式に対する解の存在、一意性、および4種類のウラム型安定性（ハイゼル＝ウラム、一般化ウラム＝ハイゼル、$E_{\alpha}$-ウラム＝ハイゼル、$E_{\alpha}$-ウラム＝ハイゼル＝ラッサス）を確立している。主な貢献は、積分不等式とミタグ＝レフラー関数を用いて、弱いリプシッツ型条件のもとで安定性を証明したことである。具体的な例（$\alpha = \frac{5}{2}$、$[1,e]$ 上）により検証されている。

ABSTRACT

In present paper, we establish sufficient conditions for existence and stability of solutions for system of nonlinear implicit fractional differential equations. The main techniques are based on method of successive approximations. Finally, an illustrative example is given to show the applicability of our theoretical results.

研究の動機と目的

• カプート＝ハダマール微分を用いた非線形陰伏的分数マーチャル微分方程式系に対する解の存在および一意性の十分条件を確立すること。
• このような方程式に対して、4種類の異なるウラム型安定性（ハイゼル＝ウラム、一般化ウラム＝ハイゼル、$E_{\alpha}$-ウラム＝ハイゼル、$E_{\alpha}$-ウラム＝ハイゼル＝ラッサス）を調査すること。
• 安定性結果を導出するために、逐次近似法をコアとなる分析的手法として適用すること。
• 提案された安定性基準の適用可能性を検証するための具体的な例を提示すること。

提案手法

• 陰伏的分数マーチャル微分方程式の解に収束する関数列を構成するために、逐次近似法を用いる。
• 対象となる微分は、対数核と演算子 $\delta^n = (t\frac{d}{dt})^n$ を用いて定義される、$\alpha \in (m-1, m]$ 階のカプート＝ハダマール微分である。
• ミタグ＝レフラー関数 $E_{\alpha}(z)$ を含む積分不等式を用いて、解の差を評価し、安定性の境界を確立する。
• $E_{\alpha}$-関数とパrameter $\theta = \frac{M}{1-N}$（$M$ と $N$ はリプシッツ定数）を用いて、安定性の推定値を導出する。
• 可変な境界を持つ $E_{\alpha}$-ウラム＝ハイゼル＝ラッサス安定性を分析するために、重み関数 $\Phi(t) = C E_{\alpha}((\log t)^\alpha)$ を導入する。
• ハダマール分数マーチャル積分とその性質を用いて、微分方程式を解析可能な等価な積分形式に変換する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カプート＝ハダマール微分を用いた非線形陰伏的分数マーチャル微分方程式系に対して、解が存在し、一意的であるための条件は何か？
• RQ2 不動点定理ではなく、逐次近似法を用いることで、このような方程式に対してウラム型安定性を確立できるか？
• RQ3 ハイゼル＝ウラム、一般化、$E_{\alpha}$-ウラム＝ハイゼル、$E_{\alpha}$-ウラム＝ハイゼル＝ラッサスの4種類のウラム型安定性は、陰伏的分数マーチャル方程式にどのように適用されるか？
• RQ4 各安定性タイプのもとで、近似解と正確な解の間の近似誤差の定量的境界は何か？
• RQ5 重み関数 $\Phi(t)$ の選択が、$E_{\alpha}$-ウラム＝ハイゼル＝ラッサス安定性条件に与える影響は何か？

主な発見

• 区間 $[1,e]$ 上で $\alpha = \frac{5}{2}$ の問題 (33) は、$M = \log(2+e) > 0$ および $N = \frac{1}{e^2} < 1$ であるリプシッツ条件を満たすため、一意解を有する。
• 問題はハイゼル＝ウラム安定であり、境界 $||y(t) - x(t)|| \leq \left(\frac{E_{\frac{5}{2}}(\theta) - 1}{\theta}\right)\epsilon$ を満たす。ここで $\theta = \frac{e^2 \log(2+e)}{e^2 - 1} \approx 0.779$ である。
• 問題は一般化ウラム＝ハイゼル安定である。なぜなら $\psi(0) = 0$ であり、$\psi(\epsilon) = \frac{E_{\frac{5}{2}}(\theta) - 1}{\theta}\epsilon$ であるからである。
• 問題は $E_{\frac{5}{2}}$-ウラム＝ハイゼル安定であり、境界 $||y(t) - x(t)|| \leq \frac{1}{\theta} E_{\frac{5}{2}}(\theta)$ を満たす。この境界は $\epsilon$ に依存しない。
• 条件 $||\mathfrak{D}_{1}^{\frac{5}{2}}y(t) - f(t,y(t),\mathfrak{D}_{1}^{\frac{5}{2}}y(t))|| \leq \epsilon \Phi(t)$ が成り立つとき、問題は $E_{\frac{5}{2}}$-ウラム＝ハイゼル＝ラッサス安定である。ここで $\Phi(t) = C E_{\frac{5}{2}}((\log t)^{\frac{5}{2}})$ であり、$||y(t) - x(t)|| \leq \epsilon \frac{1}{1 - \theta} \Phi(t)$ が得られる。
• 問題は一般化 $E_{\frac{5}{2}}$-ウラム＝ハイゼル＝ラッサス安定である。これは補足事項3により確認され、境界 $||y(t) - x(t)|| \leq \epsilon \frac{2}{1 - \theta} \Phi(t) E_{\frac{5}{2}}((\log t)^{\frac{5}{2}})$ が成り立つ。