[論文レビュー] On uniformization of N=2 superconformal and N=1 superanalytic DeWitt super-Riemann surfaces

Katrina Barron|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2008

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 47被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、N=2超 conformalおよびN=1超解析的 DeWitt 超リーマン面に対して一様化定理を確立し、特定の1次Čechコhomオロジー群が消える場合に限り、このような超リーマン面が環付き空間超多様体（つまり、移行関数に偶数変数の奇数関数を含まないもの）と同値であることを証明する。主な結果は、正則線束とシータ関数を用いた分類を通じて、この超リーマン面を分類するものであり、特に、 genus-zero の N=2 超 conformal DeWitt 超リーマン面は可算無限個の族を形成する。一方、単連結なものは、体の上での線束の共形同値類によって分類される。

ABSTRACT

We prove a general uniformization theorem for N=2 superconformal and N=1 superanalytic DeWitt super-Riemann surfaces, showing that in general an N=2 superconformal (resp. N=1 superanalytic) DeWitt super-Riemann surface is N=2 superconformally (resp., N=1 superanalytically) equivalent to a manifold with transition functions containing no odd functions of the even variable if and only if a certain cohomology group is trivial, namely the first Cech cohomology group of the body Riemann surface with coefficients in the sheaf consisting of the reciprocal of a line bundle tensor the holomorphic vector fields over the body. In particular, this gives a general criteria for when a DeWitt N=1 superanalytic super-Riemann surface is N=1 superanalytically equivalent to a ringed-space (1,1)-supermanifold, as studied in the algebro-geometric setting. This general classification result implies there is a countably infinite family of N=2 superconformal equivalence classes of N=2 superconformal DeWitt super-Riemann surfaces with genus-zero compact body, and N=2 superconformal DeWitt super-Riemann surfaces with simply connected body are classified up to N=2 superconformal equivalence by conformal equivalence classes of holomorphic line bundles over the underlying body Riemann surface. In addition, N=2 superconformal DeWitt super-Riemann surfaces with compact genus-one body and transition functions which correspond to the trivial cocycle in the first Cech cohomology group of the body Riemann surface with coefficients in the reciprocal of a line bundle tensor the sheaf of holomorphic vector fields over the body are classified up to N=2 superconformal equivalence by holomorphic line bundles over the torus modulo conformal equivalence. The corresponding results for the uniformization of N=1 superanalytic DeWitt super-Riemann surfaces of genus zero or one are presented.

研究の動機と目的

• N=2 超 conformalおよびN=1 超解析的 DeWitt 超リーマン面に対する一般の一様化定理を確立すること。
• このような超リーマン面が環付き空間超多様体（つまり、移行関数に偶数変数の奇数関数を含まないもの）と同値であるための条件を特定すること。
• コンパクトな genus-zero または genus-one の体をもつ N=2 超 conformal DeWitt 超リーマン面を、正則線束とシータ関数を用いて分類すること。
• 特に genus zero および one における N=1 超解析的超リーマン面への分類を拡張すること。
• このような一様化の存在を示すコホモロジー的基準を提示し、層コホモロジーを通じて超 conformal 幾何学と代数幾何学を結びつけること。

提案手法

• 本稿は、一般の移行関数（偶数変数の奇数関数を含む）を許容する DeWitt 超多様体のアプローチを用い、超 conformal 場理論の世界面をモデル化する。
• 中心的なコホモロジー不変量として、$M_B$ を体リーマン面、$\mathcal{L}$ を $M_B$ 上の正則線束とするとき、$\check{H}^1(M_B, \mathcal{L}^{-1} \otimes TM_B)$ のČechコホモロジー群を用いる。
• 主な結果は、同次座標設定における三重被覆での整合性条件の分析を通じて得られ、これによりコホモロジー依存性が明確になる。
• 体が genus-zero の N=2 超 conformal 超リーマン面の分類は、$\mathbb{P}^1$ 上の正則線束によってパラメータ化され、可算無限個の族であることが示される。
• 体が genus-one の場合、分類は自明なものを除いたシータ関数、あるいは同値に、共形同値類の下での正則線束によって与えられる。
• 本稿は、[DRS]で確立された N=2 から N=1 への同値性を用いて、結果を N=1 超解析的超リーマン面へ拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 N=2 超 conformal DeWitt 超リーマン面が N=2 超 conformal に環付き空間超多様体と同値であるためのコホモロジー的条件は何か？
• RQ2 コンパクトな genus-zero の体をもつ N=2 超 conformal DeWitt 超リーマン面は、同値関係に関してどのように分類されるか？
• RQ3 単連結な体をもつ N=2 超 conformal DeWitt 超リーマン面はどのように分類されるか？
• RQ4 コンパクトな genus-one の体と自明なČechコサイクルをもつ N=2 超 conformal DeWitt 超リーマン面はどのように分類されるか？
• RQ5 N=1 超解析的 DeWitt 超リーマン面の、特に genus zero および one における対応する分類は何か？

主な発見

• N=2 超 conformal DeWitt 超リーマン面が N=2 超 conformal に環付き空間超多様体と同値であるための必要十分条件は、$\check{H}^1(M_B, \mathcal{L}^{-1} \otimes TM_B) = 0$ が成り立つことである。
• コンパクトな genus-zero の体をもつ N=2 超 conformal DeWitt 超リーマン面の N=2 超 conformal 同値類は、可算無限個の族を形成する。
• 単連結な体をもつ N=2 超 conformal DeWitt 超リーマン面は、体リーマン面上の正則線束の共形同値類によって、N=2 超 conformal 同値関係に関して分類される。
• コンパクトな genus-one の体と自明なČechコサイクルをもつ N=2 超 conformal DeWitt 超リーマン面は、自明なものを除いたシータ関数、あるいは同値に、トーラス上の正則線束の共形同値類によって分類される。
• genus-zero の N=1 超 conformal DeWitt 超リーマン面では、スピン構造に依存する：自明なスピン構造は $b_S \in (\bigwedge_{*-1}^0)_S$ と $\delta \in \bigwedge_{*-1}^1 / \langle \pm 1 \rangle$ によってパラメータ化され、非自明なスピン構造では $b \in \bigwedge_{*-1}^0$ に対して $b_B = \tau$ を満たす各 $b$ が1つの同値類を定める。
• genus-one の N=1 超 conformal DeWitt 超リーマン面では、モジュライ空間はトーラス上の正則 $GL(1)$-バンドルによって定まり、体多様体上の $\mathfrak{u}(1)$ アフィンリー代数の指数関数化を通じて分類される。