[論文レビュー] On weights for relative motives with integral coefficients

Mikhail V. Bondarko|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2013

Advanced Algebra and Geometry参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、任意の優れた、分離的で、有限次元のスキーム $ S $ 上のヴォエバドスキーのモチビック複体の圏 $ DM(S) $ に対して、整数係数をもつチャウ重層構造 $ w_{\text{Chow}} $ の存在を確立する。この重層構造を構築することにより、任意の（上）ホモロジー的関手 $ H: DM(S) \to \underline{A} $ に対して関手的チャウ・重層スペクトル系列およびフィルトレーションが得られ、有理係数の結果を整数係数の設定へ拡張し、モチビック（上）ホモロジーの整数係数理論を研究するための新たな道具を可能にする。

ABSTRACT

The goal of this paper is to define a certain Chow weight structure for the category of Voevodsky's motivic complexes with integral coefficients (as described by Cisinski and Deglise) over any excellent finite-dimensional separated scheme $S$. Our results are parallel to (though substantially weaker than) the corresponding 'rational coefficient' statements proved by D. Hebert and the author. As an immediate consequence of the existence of 'weights', we obtain certain (Chow)-weight spectral sequences and filtrations for any (co)homology of $S$-motives.

研究の動機と目的

• 任意の優れた、分離的で、有限次元のスキーム $ S $ に対して、ヴォエバドスキーの整数係数モチビック複体の圏 $ DM(S) $ にチャウ重層構造 $ w_{\text{Chow}} $ を定義すること。
• これまで有理係数の場合にのみ確立されていた重層構造の理論を、より技術的に困難な整数係数の場合へ拡張すること。
• 任意の（上）ホモロジー的関手 $ H: DM(S) \to \underline{A} $ に対して、$ w_{\text{Chow}} $ の存在を活用して関手的チャウ・重層スペクトル系列およびフィルトレーションを構成すること。
• 整数係数の $ w_{\text{Chow}} $ と、$ DM_{\mathbb{Q}}(S) $ 上の既知の有理係数版との関係を比較し、比較関手を介して整合性を示すこと。
• モチビック（上）ホモロジーの整数係数理論を、重層構造から導かれるスペクトル系列およびフィルトレーションを用いて研究するための基盤を提供すること。

提案手法

• 可算ホモトピー余極限をもつ三角分類の圏に適用可能な、重層構造の存在を保証する新しい補題を用いて、$ DM(S) $ 上にチャウ重層構造 $ w_{\text{Chow}} $ を構成する。
• シスランスキーとデグリーズによる層論的メソッドで定義された三角分類の圏 $ DM(S) $ に重層構造の理論を適用し、整数係数と整合するように保証する。
• 重層構造のハートとして、$ S $ 上のチャウモチーフのフル部分圏のカローブ閉包を用いることで、重層切断の存在を保証する。
• $ w_{\text{Chow}} $ が、準射影的準同型 $ f $ に対する引き戻し $ f^* $、押し出し $ f_* $ および他の標準的関手に関して関手的であることを確立する。
• $ DM(S) $ の微分付き可換圏の強化の存在に依拠し、重層複体関手 $ t_S: DM(S) \to K(\underline{Hw}_{\text{Chow}}(S)) $ の構成を可能にする。
• 整数係数の $ w_{\text{Chow}} $ と、$ DM_{\mathbb{Q}}(S) $ 上の有理係数版との比較を行い、正則な $ S $ に対して、比較関手 $ DM(S) \otimes \mathbb{Q} \to DM_{\mathbb{Q}}(S) $ が重層的であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の優れた、分離的で、有限次元のスキーム $ S $ に対して、整数係数の $ DM(S) $ 上にチャウ重層構造を定義できるか？
• RQ2 既に知られている有理係数版の $ DM_{\mathbb{Q}}(S) $ におけるチャウ重層構造と、整数係数の $ w_{\text{Chow}} $ はどのように関係しているか？
• RQ3 $ w_{\text{Chow}} $ の存在が、整数係数のモチビック（上）ホモロジー理論にどのような意味を持つのか？
• RQ4 標準的なモチビックホモトピー理論の操作、たとえば $ f^*, f_* $ に対して、$ w_{\text{Chow}} $ の関手性はどの程度保たれるか？
• RQ5 重層構造を用いて、選択に依存しない内在的で一意なスペクトル系列およびフィルトレーションを構成できるか？

主な発見

• 任意の優れた、分離的で、有限次元のスキーム $ S $ に対して、$ DM(S) $ 上にチャウ重層構造 $ w_{\text{Chow}} $ が存在し、有理係数から整数係数への理論の拡張を実現する。
• $ w_{\text{Chow}} $ の存在は、任意のホモロジー的またはコホモロジー的関手 $ H: DM(S) \to \underline{A} $ に対して、関手的チャウ・重層スペクトル系列の存在を示し、$ M $ が有界であるとき $ H(M) $ に収束する。
• 任意の $ M \in DM(S) $ に対して、スペクトル系列 $ E_1^{pq} = H_q(M^p) $ が $ H_{p+q}(M) $ に収束する。ここで $ (M^p) $ は重層複体 $ t(M) $ の項である。
• 重層フィルトレーション $ (W^k H)(M) = \operatorname{Im}(H({w_{\text{Chow}}_{\geq k}} M) \to H(M)) $ は選択に依存せず、$ M $ に関して関手的であり、$ H(M) $ に標準的なフィルトレーションを与える。
• 正則な底スキーム $ S $ に対して、比較関手 $ DM(S) \otimes \mathbb{Q} \to DM_{\mathbb{Q}}(S) $ は重層的であるため、有理係数のスペクトル系列およびフィルトレーションは、整数係数の $ w_{\text{Chow}} $ を用いて構成されたものと一致する。
• 結果は標準的なモチビック関手と整合する：$ w_{\text{Chow}} $ は、準射影的準同型 $ f $ に対して $ f^*, f_*, f^!, f_! $ に関して関手的である。