[論文レビュー] One-counter verifiers for decidable languages

Abuzer Yakaryılmaz|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2012

semigroups and automata theory参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、決定可能言語のための効率的なインタラクティブプローフシステム（IPS）検証者として、二方向確率的および量子一時限カウンタオートマトン（one-counter verifiers）を導入する。これは、有界誤差量子カウンタオートマトンが確率的対応物を超える言語を認識できることを示している。本稿では、量子カウンタが公開コイン（アーサー・マーリン）プロトコルを可能にすることを証明し、2qccaが任意の有界誤差2pcaで決定不能な言語を認識できる新たなプログラミング技法を提示する。

ABSTRACT

Condon and Lipton (FOCS 1989) showed that the class of languages having a space-bounded interactive proof system (IPS) is a proper subset of decidable languages, where the verifier is a probabilistic Turing machine. In this paper, we show that if we use architecturally restricted verifiers instead of restricting the working memory, i.e. replacing the working tape(s) with a single counter, we can define some IPS's for each decidable language. Such verifiers are called two-way probabilistic one-counter automata (2pca's). Then, we show that by adding a fixed-size quantum memory to a 2pca, called a two-way one-counter automaton with quantum and classical states (2qcca), the protocol can be space efficient. As a further result, if the 2qcca can use a quantum counter instead of a classical one, then the protocol can even be public, also known as Arthur-Merlin games. We also investigate the computational power of 2pca's and 2qcca's as language recognizers. We show that bounded-error 2pca's can be more powerful than their deterministic counterparts by giving a bounded-error simulation of their nondeterministic counterparts. Then, we present a new programming technique for bounded-error 2qcca's and show that they can recognize a language which seems not to be recognized by any bounded-error 2pca. We also obtain some interesting results for bounded-error 1-pebble quantum finite automata based on this new technique. Lastly, we prove a conjecture posed by Ravikumar (FSTTCS 1992) regarding 1-pebble probabilistic finite automata, i.e. they can recognize some nonstochastic languages with bounded error.

研究の動機と目的

• 空間制限付きチューリングマシンの代わりに、アーキテクチャ的に制限された検証者を用いて、すべての決定可能言語のためのインタラクティブプローフシステム（IPS）を構築すること。
• 二方向確率的一時限カウンタオートマトン（2pca）および量子状態と古典的状態を併用する二方向一時限カウンタオートマトン（2qcca）の言語認識能力を調査すること。
• Ravikumarの予想、すなわち1ピースの確率的有限オートマトンが有界誤差で非確率的言語を認識できるという仮説を証明すること。
• 有界誤差2qccaが、2pcaで決定不能な言語を認識できる新たなプログラミング技法を開発すること。

提案手法

• 決定可能言語のためのインタラクティブプローフシステムにおいて、二方向確率的一時限カウンタオートマトン（2pca）を検証者として用い、作業テープの代わりに単一のカウンタを使用する。
• 量子状態と古典的状態を併用する二方向一時限カウンタオートマトン（2qcca）を導入し、固定サイズの量子レジスタを組み込むことで、検証の効率を向上させる。
• 量子カウンタ（2qca）を用いて、非公開コインプロトコルを公開コイン（アーサー・マーリン）プロトコルに変換し、プローバーが検証者の状態を完全に把握できるようにする。
• 超演算子と振幅符号化技術を用いて、入力の部分文字列を量子状態の振幅に符号化し、ユニタリ変換と測定を用いて比較を可能にする。
• TWIN言語において、文字列$u_1$と$u_2$を符号化・比較するための、複数のクラウス演算子を有する超演算子を用いる新しいプログラミング技法を適用する。
• 有界誤差シミュレーション技術を用いて、2pcaが有界誤差で非決定的一時限カウンタオートマトンをシミュレートできることを示し、その表現力を向上させることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一時限カウンタ検証者（2pca）を用いて、すべての決定可能言語のためのインタラクティブプローフシステムを構築できるか？
• RQ2 2pcaに固定サイズの量子レジスタを追加することで（2qccaを形成）、決定可能言語のための空間効率的検証が可能になるか？
• RQ3 古典的カウンタを量子カウンタ（2qca）に置き換えることで、非公開コインプロトコルを公開コイン（アーサー・マーリン）プロトコルに変換できるか？
• RQ4 有界誤差2qccaは、有界誤差2pcaで決定不能な言語を認識できるか？
• RQ5 Ravikumarの予想である、1ピースの確率的有限オートマトンが有界誤差で非確率的言語を認識できるという仮説は正しいか？

主な発見

• 有界誤差2pcaは二方向非決定的一時限カウンタオートマトンをシミュレートでき、2dcaより厳密に強力であることが示された。
• 2qccaに基づくプロトコルは、TWIN言語を有界誤差で認識する：$x \in \mathtt{TWIN}$ ならば確率1で受理され、$x \notin \mathtt{TWIN}$ ならば確率$4/5$以上で拒否される。
• 2qcca用の新しいプログラミング技法により、任意の有界誤差2pcaで決定不能であると見なされる言語を認識でき、計算能力の向上が実証された。
• 量子カウンタ（2qca）を用いたプロトコルは公開コイン（アーサー・マーリン）となる。これは、プローバーが検証者の状態を完全に把握できるという、インタラクティブプローフ理論における重要な結果である。
• 本稿では、Ravikumarの予想が証明された：1ピースの確率的有限オートマトンは、有界誤差で非確率的言語を認識できる。
• 本研究の結果は、二方向量子一時限カウンタオートマトン（2qca）に関する、これまでにない非自明な発見であり、この分野では以前未発表のものであった。