[論文レビュー] Turing-equivalent automata using a fixed-size quantum memory

Abuzer Yakaryılmaz|arXiv (Cornell University)|May 24, 2012

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 29被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、定数サイズの量子メモリのみを用いてチューリング同等性を達成する2つの新しい量子計算モデル—弱公共量子インタラクティブ証明システム（qAM）と量子交互チューリング機械（qATM）—を導入する。固定サイズの量子レジスタを活用することで、両モデルは定数空間で任意のチューリング認識可能な言語を認識でき、古典的空間有界モデルを上回り、量子コherenceが計算パワーにおける指数的空間節約を可能にすることを示している。

ABSTRACT

In this paper, we introduce a new public quantum interactive proof system and the first quantum alternating Turing machine: qAM proof system and qATM, respectively. Both are obtained from their classical counterparts (Arthur-Merlin proof system and alternating Turing machine, respectively,) by augmenting them with a fixed-size quantum register. We focus on space-bounded computation, and obtain the following surprising results: Both of them with constant-space are Turing-equivalent. More specifically, we show that for any Turing-recognizable language, there exists a constant-space weak-qAM system, (the nonmembers do not need to be rejected with high probability), and we show that any Turing-recognizable language can be recognized by a constant-space qATM even with one-way input head. For strong proof systems, where the nonmembers must be rejected with high probability, we show that the known space-bounded classical private protocols can also be simulated by our public qAM system with the same space bound. Besides, we introduce a strong version of qATM: The qATM that must halt in every computation path. Then, we show that strong qATMs (similar to private ATMs) can simulate deterministic space with exponentially less space. This leads to shifting the deterministic space hierarchy exactly by one-level. The method behind the main results is a new public protocol cleverly using its fixed-size quantum register. Interestingly, the quantum part of this public protocol cannot be simulated by any space-bounded classical protocol in some cases.

研究の動機と目的

• 古典的インタラクティブ証明システムおよび交互チューリング機械に固定サイズの量子レジスタを追加し、新たな計算パワーを達成すること。
• 空間有界な量子モデルが定数サイズの量子メモリでチューリング完全性に到達できるかどうかを調査すること。
• 固定レジスタ内の量子コherenceが、古典的空間有界モデルを超える普遍計算を可能にすることを示すこと。
• 公開検証と完全完璧性を備えた、古典的交互の量子アナログを確立すること。
• 量子モデルが、私的古典モデルと同様に、決定的空間階層を1段階シフトできることを示すこと。

提案手法

• 古典的アーサー＝マーリン証明システムおよび交互チューリング機械に固定サイズの量子レジスタを追加し、公開qAMおよびqATMモデルを構築する。
• 量子重ね合わせと干渉を用いる新しい公開量子プロトコルを採用し、定数サイズの量子メモリで無限大の計算をシミュレートする。
• 密度行列と行列の進化を用いて、停止しない量子状態をモデル化し、空間有界量子機械の停止挙動の分析を可能にする。
• 弱qAMシステムにおける誤り確率を低減するために確率強化を適用し、非メンバーの高精度な除外を保証する。
• すべての計算経路で停止を強制する強化版qATMを導入し、決定的空間の指数的空間節約によるシミュレーションを可能にする。
• Watrousの時間有界結果を混合状態量子チューリング機械に拡張し、混合状態をベクトルとして表現し、遷移演算子を行列として表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定数サイズの量子メモリを有する公開量子インタラクティブ証明システムは、任意のチューリング認識可能な言語を認識できるか？
• RQ2 定数サイズの量子メモリを有する量子交互チューリング機械は、任意の再帰的に可算言語をシミュレートできるか？
• RQ3 古典的空間有界モデルに固定サイズの量子レジスタを追加することで、計算パワーが厳密に向上するか？
• RQ4 固定レジスタ内の量子コherenceが、古典モデルができない場合でも無限大の計算をシミュレートできるか？
• RQ5 強化版qATMモデルは、私的古典的交互と同様に、決定的空間階層を正確に1段階シフトするか？

主な発見

• 定数空間の弱qAMシステムは、完全完璧性と高い音響性を備え、非メンバーに対しても任意のチューリング認識可能言語を認識可能である。
• 任意のEXPTIME言語は、対数空間qAMシステムで認識可能であり、古典的対数空間IPシステムと同等のパワーを持つ。
• 定数量子メモリを有する1方向qATMは、任意の再帰的に可算言語を認識可能であり、古典的有限オートマトンおよび私的ATMを上回る。
• すべての経路で停止を強制する強化版qATMモデルは、決定的空間階層を正確に1段階シフトし、私的古典的交互と類似する。
• 一部の状況では、量子プロトコルは空間有界な古典的プロトコルではシミュレートできないため、真の量子優位性を示している。
• 絶対停止性を有する空間有界量子チューリング機械は、最大 $ N^2 $ ステップまで実行可能であり、ここで $ N $ は標準的構成の数である。これは、Watrousの境界を混合状態モデルに一般化したものである。