[論文レビュー] One-sided shift spaces over innite alphabets

William Ott, Mark Tomforde+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2014

semigroups and automata theory参考文献 32被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、無限のアルファベット上での片側シフト空間を、コンpakto Hausdorff空間として定義し、3つの異なるクラスに一般化された有限型シフトに拡張する。『フロー・ファイニット』条件のもとで、シフト自己同型写像が滑りブロック符号に正確に対応することを確立し、これにより、同相な無限有向グラフシフトの群コホモロジーとC*-代数の同型を証明する。

ABSTRACT

We dene a notion of (one-sided) shift spaces over innite alphabets. Unlike many previous approaches to shift spaces over count- able alphabets, our shift spaces are compact Hausdor spaces. We ex- amine shift morphisms between these shift spaces, and identify three distinct classes that generalize the shifts of nite type. We show that when our shift spaces satisfy a property that we call ow-nite, shift morphisms on them may be identied with sliding block codes. As ap- plications, we show that if two (possibly innite) directed graphs have edge shifts that are conjugate, then the groupoids of the graphs are isomorphic, and the C -algebras of the graphs are isomorphic.

研究の動機と目的

• 無限のアルファベット上での新しいシフト空間のクラスを定義し、コンパクトなHausdorff空間として、従来の可算なアルファベットアプローチの制限を克服する。
• 有限型シフトを無限のアルファベット設定に一般化する3つの異なるクラスに、シフト自己同型写像を分類する。
• シフト自己同型写像が滑りブロック符号として表現可能となる条件を特定する。特に『フロー・ファイニット』性を焦点とする。
• 理論を無限有向グラフに適用し、辺シフトが同相である場合、それらに関連する群コホモロジーとC*-代数の構造的同型を確立する。

提案手法

• 積位相を備えたフルシフト空間の閉部分集合として、無限のアルファベット上での片側シフト空間を定義し、コンパクト性とHausdorff分離性を保証する。
• 『フロー・ファイニット』シフト空間の概念を導入し、任意の有限接頭辞を通るパスの数を制限することで、自己同型写像の有限表現を可能にする。
• シフト自己同型写像を、シフト空間間の連続的かつシフトと可換な写像として特徴づけ、フロー・ファイニット条件のもとで、これら自己同型写像が滑りブロック符号と等価であることを示す。
• 無限有向グラフの構造を利用してその辺シフトを定義し、このようなシフトが同相であるならば、それらに関連する群コホモロジーが同型であることを証明する。
• C*-代数的技法を用いて、同型な群コホモロジーが同型なC*-代数を導くことを示し、シフト空間の枠組みを活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、従来のアプローチとは異なり、コンパクト性とHausdorff分離性を保証する無限のアルファベット上でのシフト空間を定義できるか？
• RQ2 無限のアルファベット設定において、有限型シフトの自然な一般化とは何か？そして、それらはどのようにシフト自己同型写像を分類するか？
• RQ3 無限のアルファベット上でのシフト空間において、シフト自己同型写像と滑りブロック符号の対応関係が成り立つ条件は何か？
• RQ4 無限有向グラフの辺シフトが同相である場合、そのグラフのどのような構造的不変量が保存されるか？
• RQ5 無限グラフの辺シフトが同相である場合、それらに関連する群コホモロジーとC*-代数が同型であると示せるか？

主な発見

• 片側シフト空間を無限のアルファベット上にコンパクトなHausdorff空間として定義でき、無限のアルファベットダイナミクスのための位相的に良好な枠組みを提供する。
• 有限型シフトを無限のアルファベット設定に一般化する3つの異なるクラスのシフト自己同型写像が特定された。
• フロー・ファイニットシフト空間では、すべてのシフト自己同型写像が滑りブロック符号として表現可能であり、代数的構造と力学的構造の間の直接的な対応関係を確立する。
• 2つの無限有向グラフの辺シフトが同相であるならば、それらに関連する群コホモロジーは同型である。
• 無限有向グラフの辺シフトが同相であるならば、それらに関連するC*-代数も同型である。これは古典的な結果を無限の設定に拡張するものである。