[論文レビュー] Online Facility Location with Deletions

Marek Cygan, Artur Czumaj+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2018

Optimization and Search Problems参考文献 37被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、クライアントの到着と削除の両方を伴う施設配置問題に対する最初の競合的オンラインアルゴリズムを提示する。非容量制限型の場合は、最適な $O(\log n_{\text{act}}/\log\log n_{\text{act}})$-競合的アルゴリズムを導入し、容量制限型の場合は $O\left(\log m + \log c \cdot \log n\right)$-競合的アルゴリズムを提示する。これらは階層的に良好に分離された木（HSTs）を用いて、動的な再接続と容量制約を管理する。

ABSTRACT

In this paper we study three previously unstudied variants of the online Facility Location problem, considering an intrinsic scenario when the clients and facilities are not only allowed to arrive to the system, but they can also depart at any moment. We begin with the study of a natural fully-dynamic online uncapacitated model where clients can be both added and removed. When a client arrives, then it has to be assigned either to an existing facility or to a new facility opened at the client's location. However, when a client who has been also one of the open facilities is to be removed, then our model has to allow to reconnect all clients that have been connected to that removed facility. In this model, we present an optimal O(log n_act / log log n_act)-competitive algorithm, where n_act is the number of active clients at the end of the input sequence. Next, we turn our attention to the capacitated Facility Location problem. We first note that if no deletions are allowed, then one can achieve an optimal competitive ratio of O(log n/ log log n), where n is the length of the sequence. However, when deletions are allowed, the capacitated version of the problem is significantly more challenging than the uncapacitated one. We show that still, using a more sophisticated algorithmic approach, one can obtain an online O(log m + log c log n)-competitive algorithm for the capacitated Facility Location problem in the fully dynamic model, where m is number of points in the input metric and c is the capacity of any open facility.

研究の動機と目的

• クライアントと施設の両方が到着・退出する完全に動的な状況を扱うオンライン施設配置問題の研究における空白を埋めること。
• 削除によって生じる複雑さにかかわらず、低競合的比を維持する効率的なオンラインアルゴリズムの設計。
• 挿入のみの設定に既存の確率的オンラインアルゴリズムを拡張し、削除を処理しつつほぼ最適な競合的性質を保つこと。
• 施設の容量制約とクライアントの退出が顕著にアルゴリズム的課題を増加させる動的更新下での容量制限型の解析。

提案手法

• メイアソンの確率的挿入のみのアルゴリズムを、削除された施設からのクライアントの再割り当てを許容することで、非容量制限型施設配置問題に適応する。
• 階層的になめらかに分離された木（HSTs）を用いて、元の度合い空間を $O(\log m)$ の期待ストレッチと $O(\log c)$ の深さで埋め込み、効率的な距離推定を可能にする。
• 最適な施設が提供するクライアントを、HSTにおける施設からの距離に基づいてレベルに分割し、コスト貢献を2つの期間（クライアントが施設として開設される前後）に分けて分析する。
• 確率的解析を用いて、2番目の期間における再割り当ての期待コストを上限づけ、距離 $O(\text{dist}_{\mathfrak{T}}(f, S_i))$ 内での施設の利用可能性に関する高確率的保証を活用する。
• 総コストを、施設開設コスト、HST内での接続コスト、再割り当てペナルティに分解し、それぞれを集中法と期待値の議論によって上限づける。
• HST埋め込みと期間別解析の結果を統合し、最終的な競合的比を導出。$m$ と $c$ に依存する部分が対数的であり、定数倍を除いて最適であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クライアントが到着・退出する完全に動的な非容量制限型施設配置問題において、オンラインアルゴリズムが最適な競合的比を達成できるか。
• RQ2 削除を許容する容量制限型施設配置問題の最良の可能な競合的比は何か。また、挿入のみのケースと比較するとどうなるか。
• RQ3 階層的になめらかに分離された木（HSTs）の枠組みを、動的なクライアントの退出と施設の再割り当てを扱う容量制限型設定に効果的に拡張できるか。
• RQ4 再接続と容量制約の複雑さが増すにもかかわらず、削除が存在する状況で挿入のみの境界に近い競合的比を維持することは可能か。
• RQ5 動的容量制限型モデルにおいて、ポイント数 $m$、施設容量 $c$、および競合的比の間のトレードオフは何か。

主な発見

• 完全に動的な非容量制限型施設配置問題に対して、最適な $O(\log n_{\text{act}} / \log\log n_{\text{act}})$-競合的確率的アルゴリズムが達成され、挿入のみのケースにおける既知の最適境界と一致する。
• 削除を伴う容量制限型の変種に対して、本稿は $O(\log m + \log c \cdot \log n)$-競合的アルゴリズムを提示する。これはこの動的設定における最初の結果である。
• 容量制限型の競合的比は、接続コストに関して期待値で $O(\log m)$、再割り当てペナルティに関しては $O(\log c \cdot \log n)$ であることが示され、後者はHST埋め込みと集中限界を用いて上限づけられている。
• 解析により、2番目の期間（クライアントが施設として開設された後）におけるクライアント再割り当ての期待コストが $O(\text{dist}_{\mathfrak{T}}(f, S_i)) + 120 \cdot \log c \cdot \ln n / c$ で上限づけられ、これが競合的比に $O(\log c \cdot \log n)$ を寄与することが分かった。
• HSTの使用により、$O(\log m)$ の期待ストレッチと $O(\log c)$ の深さが保証され、動的設定における距離の近似と施設の利用可能性の推定が効率的に行える。
• 本稿は、削除の追加的複雑さにもかかわらず、非容量制限型および容量制限型の両方の変種に対して、挿入のみの境界と一致またはほぼ一致する競合的比を達成するオンラインアルゴリズムが存在することを示した。