[論文レビュー] Open strings, Lagrangian conductors and Floer functor

Jean-Yves Welschinger|ArXiv.org|Dec 1, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 28被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、半正則なシンプレクティック多様体におけるラグランジュ的導体から、有界な開ストリングのホモトピー圏へのフローリング関手を導入し、第一チャーン類が消える場合にラグランジュ的球面に対する整数係数フロイドコホモロジーを可能にする。これは、シンプレクティック場理論からの$A_1$特異的構造を含むようにほぼ複素構造の空間を拡張することで達成され、フロイド理論における主要な障害を解消し、ホモロジカルミラー双対性を支持する。

ABSTRACT

We introduce a contravariant functor, called Floer functor, from the category of Lagrangian conductors of a symplectic manifold to the homotopy category of bounded chain complexes of open strings in this manifold. The latter two categories are defined for all symplectic manifolds, whereas Floer functor is defined for semipositive manifolds which are either closed or convex at infinity. We then prove that when the first Chern class of the symplectic manifold vanishes, Lagrangian spheres define Lagrangian conductors so that in particular their integral Floer cohomology is well defined. This requires the introduction of singular almost-complex structures given by symplectic field theory.

研究の動機と目的

• シンプレクティック多様体におけるラグランジュ的導体から、開ストリングの有界なチェーン複体のホモトピー圏への反変フロイド関手を定義すること。
• 第一チャーン類が消える多様体におけるラグランジュ的球面に対する整数係数フロイドコホモロジーを定義するための障害を解消すること。
• シンプレクティック場理論から得られる$A_1$特異的構造を含むように、ほぼ複素構造の空間を拡張し、$J$-正則ディスクの局在化を可能にすること。
• ラグランジュ的球面がラグランジュ的導体をなすことを確立し、このような設定において整数係数フロイドコホモロジーがうまく定義されることを示すこと。
• twisted complex と導来圏をフロイド形式主義に埋め込むことで、ホモロジカルミラー双対性の枠組みを支持すること。

提案手法

• 開ストリングの前加法圏${\cal OS}(X,\omega)$を導入し、双対性、テンソル積、${\mathbb{Z}}$作用を備え、係数関手${\cal C}$をノビコフ環${\mathbb{Z}}((t^{{\mathbb{R}}}))$上の自由加群へ定義する。
• ラグランジュ的導体を、互いに横断的である閉じたラグランジュ部分多様体の有限集合と、スターシェフのアソシアヘドロン上の普遍的曲線に値をとる関数を備えたものとして定義する。この関数は、適合するほぼ複素構造${\cal J}_{\omega}$の空間に値をとる。
• フロイド複体と継続写像を用いて、${\cal F}:{\cal CL}^{\pm}(X,\omega)\to K^{b}({\cal OS}_{1}(X,\omega))$というフロイド関手を構成する。関手の関手的性は、ほぼ複素構造のバーンズミングによって保証される。
• ほぼ複素構造の空間を$\overline{\cal J}_{\omega}={\cal J}_{\omega}\sqcup\partial{\cal J}_{\omega}$に拡張し、シンプレクティック場理論から得られる$A_1$特異的構造を導入することで、$J$-正則ディスクの特異性を扱えるようにする。
• 局在化現象（定理4.1）を適用し、$J$-正則ディスクがラグランジュ的球面の境界上に集中し、より高次元の余次元のストラトゥムに局在することを示す。これにより、整数係数フロイドコホモロジーが可能になる。
• ディスクの特異性の除去とモース＝ボット技法を用いて、ラグランジュ的球面のフロイドコホモロジーが${\mathbb{Z}}((t^{{\mathbb{R}}}))$代数として$H^*(S^n,\mathbb{Z})\otimes\mathbb{Z}((t^\mathbb{R}))$に自然同型であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 第一チャーン類が消えるシンプレクティック多様体におけるラグランジュ的球面に対して、標準的なフロイド理論における障害があるにもかかわらず、整数係数フロイドコホモロジーを定義できるか？
• RQ2 $J$-正則ディスクの局在化を可能にするために、特異的構造を含むようにほぼ複素構造の空間をどのように拡張できるか？
• RQ3 スターシェフのアソシアヘドロンとマルチプリズムは、ラグランジュ的導体のデータを整理し、フロイド関手を定義するために果たす役割は何か？
• RQ4 特異的ほぼ複素構造の高余次元ストラトゥムに$J$-正則膜が局在することによって、フロイド複体の構造にどのような影響を与えるか？
• RQ5 ラグランジュ的導体の圏は、ラグランジュ的球面とそのフロイドコホモロジー加群の集合に前加法圏構造を定義するために使用できるか？

主な発見

• フロイド関手${\cal F}$は、閉または無限遠で凸である半正則なシンプレクティック多様体に対して、ラグランジュ的導体を有界な開ストリングのチェーン複体のホモトピー圏へ正しく定義される。
• 第一チャーン類が消える場合、ラグランジュ的球面はラグランジュ的導体を定める。これにより、拡張された$A_1$特異的ほぼ複素構造の空間を用いて、その整数係数フロイドコホモロジーを構成できる。
• $A_1$特異的ほぼ複素構造は、$J$-正則ディスクが期待されるよりも高余次元のストラトゥムに局在化され、整数係数フロイドコホモロジーに対する主要な障害が解消される。
• ラグランジュ的球面$L$のフロイドコホモロジー$HF(L,L;J_L)$は、${\mathbb{Z}}((t^{{\mathbb{R}}}))$代数として$H^*(S^n,\mathbb{Z})\otimes\mathbb{Z}((t^\mathbb{R}))$に自然同型であり、生成子は次数0と$n$に存在する。
• 第一チャーン類が消える閉または無限遠で凸なシンプレクティック多様体内に存在する滑らかなラグランジュ的球面は、ハミルトニアン同倫によって自分自身からずらすことはできない。これはFukaya-Oh-Ohtaの結果と整合する。
• $\widetilde{{\cal L}ag}_0(X,\omega)$、つまりグレーディング付き消滅サイクルの圏は、小さな前加法圏構造を備え、忘却関手$\text{For}_J$の任意の2つの切断は同型な部分圏を生成する。